[论文解读] A nonlocal operator method for solving partial differential equations

Huilong Ren, Xiaoying Zhuang+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2018

Numerical methods in engineering被引用 10

一句话总结

本文提出了一种非局部算子方法，通过使用基于泰勒级数展开的积分型非局部算子替代传统的微分算子，以求解偏微分方程（PDEs）。该方法与变分原理和加权残差法保持一致，可通过矩阵乘法高效计算残差和切线刚度矩阵，同时引入沙漏能泛函以抑制节点积分格式中的零能模态。

ABSTRACT

We propose a nonlocal operator method for solving partial differential equations (PDEs). The nonlocal operator is derived from the Taylor series expansion of the unknown field, and can be regarded as the integral form "equivalent" to the differential form in the sense of nonlocal interaction. The variation of a nonlocal operator is similar to the derivative of shape function in meshless and finite element methods, thus circumvents difficulty in the calculation of shape function and its derivatives. {The nonlocal operator method is consistent with the variational principle and the weighted residual method, based on which the residual and the tangent stiffness matrix can be obtained with ease.} The nonlocal operator method is equipped with an hourglass energy functional to satisfy the linear consistency of the field. Higher order nonlocal operators and higher order hourglass energy functional are generalized. The functional based on the nonlocal operator converts the construction of residual and stiffness matrix into a series of matrix multiplications on the nonlocal operators. The nonlocal strong forms of different functionals can be obtained easily via support and dual-support, two basic concepts introduced in the paper. Several numerical examples are presented to validate the method.

研究动机与目标

• 开发一种类似无网格的方法以求解PDE，避免形状函数构造与导数计算的复杂性。
• 通过引入沙漏能泛函，解决节点积分中的数值不稳定性（如沙漏模态）。
• 将公式推广至高阶非局部算子与高阶一致性条件。
• 确保方法与变分原理及加权残差法保持一致，以实现残差与刚度矩阵的可靠计算。
• 为具有间断或强梯度的问题（如断裂或损伤力学）提供一种稳定、一致且计算高效的PDE求解框架。

提出的方法

• 非局部算子通过泰勒级数展开推导，并基于支持域定义，实现对微分算子的积分型近似。
• 采用“对偶支持”概念，实现非均匀离散化，并通过变分原理促进非局部强形式的推导。
• 通过涉及非局部算子与物理本构项的矩阵乘法计算残差与切线刚度矩阵，避免显式计算形状函数的导数。
• 引入沙漏能泛函以通过抑制零能模态来稳定节点积分，确保线性一致性。
• 将高阶非局部算子及其对应的高阶沙漏能泛函进行推广，以提升精度与一致性。
• 利用支持域与对偶支持域概念构建非局部强形式，实现弱形式向代数系统的直接离散化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用基于积分的非局部算子替代PDE中的微分算子，以避免形状函数的构造？
• RQ2 非局部算子方法能否与变分原理及加权残差法保持一致？
• RQ3 在非局部框架中，如何有效抑制节点积分中的沙漏模态？
• RQ4 对偶支持在实现非均匀离散化与稳定公式化中起到何种作用？
• RQ5 高阶非局部算子与能量泛函如何提升方法的精度与一致性？

主要发现

• 非局部算子方法成功地将局部微分算子替换为基于积分的形式，实现了无需显式形状函数导数的PDE稳定且精确求解。
• 该方法与变分原理及加权残差法保持一致，可通过矩阵乘法直接计算残差与切线刚度矩阵。
• 沙漏能泛函能有效抑制节点积分中的零能模态，确保显式与隐式分析中的数值稳定性。
• 当支持域趋于无穷小时，非局部算子收敛于局部微分算子，确保与经典PDE的一致性。
• 数值算例（包括悬臂梁、泊松方程与特征值问题）表明，该方法在具有间断问题中具有高精度与鲁棒性。
• 使用对偶支持可实现灵活的非均匀离散化，显著提升方法在复杂几何与非结构化网格中的适用性。