[论文解读] A Nonparametric Framework for Online Stochastic Matching with Correlated Arrivals

Ali Aouad, Will Ma|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2022

Optimization and Search Problems被引用 4

一句话总结

本文提出了一种非参数在线随机匹配的框架，放宽了需求到达中标准的序列独立性假设，允许任意、相关且高方差的需求分布。通过提出两种模型——Indep（独立类型需求）和 Correl（给定总需求时相关类型分布）——作者表明，仅基于期望的流体线性规划（LP）松弛可能成为任意差的基准，因此开发了更紧致的LP松弛，实现了在对抗性和随机顺序到达下的常数因子竞争力。

ABSTRACT

The design of online algorithms for matching markets and revenue management settings is usually bound by the assumption that the demand process is formed by a fixed-length sequence of queries with unknown types, each drawn independently. This notion of serial independence implies that the demand of each type, i.e., the number of queries of a given type, has low variance and is approximately Poisson-distributed. This paper proposes a nonparametric framework for modeling arrival sequences in online stochastic matching that departs from the serial independent assumption. We propose two models, INDEP and CORREL, that capture different forms of serial correlations by combining a nonparametric distribution for the demand with standard assumptions on the arrival patterns -- adversarial or random order. The INDEP model can capture arbitrary serial correlations within each customer type but assumes cross-sectional independence across types, whereas the CORREL model captures common shocks across customer types. We demonstrate that fluid relaxations, which rely solely on demand expectations, have arbitrarily bad performance guarantees. In contrast, we develop new algorithms that achieve optimal (constant-factor) performance guarantees in each model. Our mathematical analysis includes tighter linear programming (LP) relaxations that leverage distribution knowledge, and a new lossless randomized LP rounding scheme for INDEP. We test our new LP relaxations and rounding scheme in simulations on real and synthetic data, and find that they consistently outperform well-established matching algorithms, especially on real data sequences that exhibit greater demand variance.

研究动机与目标

• 为解决现有在线随机匹配模型中假设序列独立性和低方差需求的局限性，这些假设限制了其在具有高变异性的现实数据中的适用性。
• 开发一种数据驱动的非参数框架，以捕捉任意需求分布及查询类型之间的相关性，而无需依赖泊松分布或独立同分布（i.i.d.）到达等参数假设。
• 证明在高方差、相关需求下，常用于前期工作的流体LP松弛——仅基于期望——可能成为任意差的基准，因此需要进行紧致化。
• 在新模型下，设计具有可证明常数因子性能保证的竞争力在线匹配算法，适用于对抗性和随机顺序到达序列。
• 提供一种通用建模框架，将经验需求分布与标准在线到达模型相结合，从而支持更丰富、更真实的随机匹配建模。

提出的方法

• 提出两种新模型：Indep，其中每类需求独立地从任意分布中抽取；Correl，其中先抽取总需求，再在总需求条件下独立同分布地分配类型。
• 引入紧致化的线性规划（LP）松弛，纳入需求的完整分布信息，而非仅依赖期望，以更好地捕捉方差和相关性。
• 应用先知不等式技术来界定基于资源的阈值策略的性能，表明每个资源的贡献至少为最优阈值策略价值的一半。
• 采用基于紧致化LP最优解的舍入策略，将查询分配给资源，确保可行性与竞争力表现。
• 通过随机优势和期望关系，建立在线策略期望收益的下界，将其与最优阈值策略的收益关联。
• 采用分解方法，将总收益按资源逐个分析，利用LP的结构特性表明约束几乎达到紧致，从而实现紧密的性能分析。

Figure 1: Illustration of TypeRound in stage $t=3$ for an example with $L=5$ , $\bar{p}_{\ell}=\frac{1}{2^{\ell-1}}$ for all $\ell\in[L]$ , and ${\bf x}_{j}=(\frac{1}{8},\frac{3}{8},\frac{7}{8},\frac{1}{4},0)$ . The $y$ -axis visualizes the probabilistic space, including the disjointedness of events

实验结果

研究问题

• RQ1 当需求分布为非泊松且具有高方差，违反标准序列独立性假设时，在线匹配策略是否仍能维持常数因子性能保证？
• RQ2 在需求分布具有相关性或重尾特性时，仅基于期望需求的流体LP松弛作为基准的失败程度如何？
• RQ3 如何对LP松弛进行紧致化，以纳入需求的完整分布信息，特别是在存在任意或相关类型到达的场景中？
• RQ4 当需求方差不被均值所限制时，能否为对抗性或随机顺序到达序列设计出常数因子竞争力的在线匹配算法？
• RQ5 非参数需求建模在提升数据驱动运营业务中在线匹配策略的鲁棒性与准确性方面起到何种作用？

主要发现

• 仅使用期望需求的流体LP松弛在高方差或相关需求场景下可能成为任意差的基准，因此不能作为性能代理。
• 所提出的 Indep 和 Correl 模型分别允许任意边际或总需求分布，且推广了标准模型（如泊松或i.i.d.到达）。
• 在两种模型中，作者设计的在线匹配算法在对抗性和随机顺序到达下分别实现了1/2-竞争力。
• 性能保证通过证明每个资源的贡献至少为最优阈值策略收益的一半而获得，利用了先知不等式的结果。
• 紧致化的LP松弛（纳入了需求的完整分布）对于实现常数因子性能至关重要，并在高方差场景下优于标准流体松弛。
• 该框架支持基于真实数据的经验需求分布估计，从而实现数据驱动建模，可与标准到达顺序模型结合用于算法设计。

Figure 2: Each of the 1600 dots represents a (SKU, location)-combination $j$ . The $x$ -coordinate is the empirical mean weekly demand for that SKU from that location, and the $y$ -coordinate is the natural logarithm of the ratio of empirical variance to empirical mean. The property $\mathrm{Var}(D_