[论文解读] A norm for Tsirelson's Banach space

Diana Ojeda-Aristizabal|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2012

Advanced Banach Space Theory参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文为Tsirelson原始Banach空间T提供了显式的隐式范数表达式，该表达式是Figiel与Johnson给出的T*范数公式的对偶形式。研究证明，T的范数是所有满足特定递归方程（涉及块序列与下确分解）的范数中的逐点最大值，并将该方法推广至计算任意混合Tsirelson空间（包括Schlumprecht空间）的对偶范数。

ABSTRACT

We give an expression for the norm of the space constructed by Tsirelson. The implicit equation satisfied by this norm is dual to the implicit equation for the norm of the dual of Tsirelson space given by Figiel and Johnson. The expression can be modified to give the norm of the dual of any mixed Tsirelson space. In particular, our results can be adapted to give the norm for the dual of Schlumprecht space.

研究动机与目标

• 为Tsirelson原始Banach空间T提供一个显式范数表达式，此前该空间缺乏闭式描述。
• 通过构建一个基于隐式方程的范数，解决因缺乏可计算范数表达式而带来的研究困难。
• 将该方法推广至计算任意混合Tsirelson空间（包括Schlumprecht空间）的对偶范数。
• 证明所构造的范数是在满足相同隐式方程且归一化标准基向量的所有范数中最大的。

提出的方法

• 通过在c₀₀上对块序列与分解进行迭代最小化，定义一组范数，初始范数为||x||₀ = ||x||₁。
• 使用递归公式 ||x||ₙ₊₁ = min{ min{ (1/θₗ) maxᵢ ||Eᵢx||ₙ : (Eᵢ) ℳₗ-admissible, x=∑Eᵢx }, inf{||y||ₙ + ||z||ₙ : x=y+z, supp(y)⊆supp(x)) } }
• 证明序列 (||x||ₙ) 收敛至一个极限范数 ||x||，该范数满足隐式方程：||x|| = min{ min{ (1/θₗ) maxᵢ ||Eᵢx|| : ℳₗ-admissible block, x=∑Eᵢx }, inf{||y||+||z|| : x=y+z } }
• 应用对偶定理，将对偶空间的单位球面识别为递归生成集合V的弱*闭包。
• 验证标准基向量在该范数下被归一化，并证明该范数是在所有满足相同隐式方程的解中最大的。
• 通过推广系数与可允许性条件，将该构造方法适应于混合Tsirelson空间T[(ℳₙ,θₙ)ₙ]。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为缺乏已知闭式范数的Tsirelson原始Banach空间T推导出显式的隐式范数表达式？
• RQ2 T的范数是否满足一个允许其通过块序列与分解表征的递归方程？
• RQ3 用于T的方法能否推广至计算任意混合Tsirelson空间（包括Schlumprecht空间）的对偶范数？
• RQ4 所构造的T的范数是否是在所有满足相同隐式方程且归一化标准基的范数中最大的？
• RQ5 混合Tsirelson空间的对偶单位球面能否通过函数列的递归生成过程来描述？

主要发现

• Tsirelson原始空间T的范数由c₀₀上一列递归定义的范数的极限给出，该极限满足特定的隐式方程。
• T的范数是所有满足隐式方程且归一化标准基向量eᵢ的范数中的逐点最大值。
• 混合Tsirelson空间T[(ℳₙ,θₙ)ₙ]的对偶范数可通过涉及系数θₙ与ℳₙ-admissible块序列的广义递归公式表达。
• T[(ℳₙ,θₙ)ₙ]的对偶单位球面是递归生成集合V的弱*闭包，该集合包含标准基泛函及其在可允许块上的θₗ组合。
• Schlumprecht空间的对偶范数可使用广义公式计算，证实了该方法在原始Tsirelson空间之外的适用性。
• 所构造的T的范数无法基于其支集大小进行归纳计算，与T*的范数不同，原因在于其下确与最小化项的结构。