[论文解读] A note about EC-$(s,t)$-weak tractability of multivariate approximation with analytic Korobov kernels

Heping Wang|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2018

Mathematical Approximation and Integration参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文在最坏情况和平均情况设置下，针对使用解析Korobov核的多重逼近问题，建立了指数收敛$(s,t)$-弱可 tractability（EC-$(s,t)$-WT）的必要与充分条件。证明了当序列$\{a_k\}$满足特定衰减条件时，EC-$(s,t)$-WT成立，且具体条件取决于$s$和$t$的取值，尤其区分了$s<1$、$s\geq1$、$t<1$和$t\geq1$的情形，并通过信息复杂度界对两种设置下的情况给出了完整刻画。

ABSTRACT

This note is devoted to discussing multivariate approximation of continuous functions on $[0,1]^d$ with analytic Korobov kernels in the worst and average case settings. We only consider algorithms that use finitely many evaluations of arbitrary continuous linear functionals. We study EC-$(s, t)$-weak tractability under the absolute or normalized error criterion, and obtain necessary and sufficient conditions for $00$ in the average case setting.

研究动机与目标

• 确定在使用解析Korobov核的多重逼近问题中，EC-$(s,t)$-弱可 tractability 的必要与充分条件。
• 分析信息复杂度$n(\varepsilon, S_d)$作为$\varepsilon^{-1}$和$d$的函数时，在绝对误差与归一化误差准则下的行为。
• 对$s,t>0$且$0<\min(s,t)<1$，$\max(s,t)\leq1$的情形，建立最坏情况与平均情况设置下EC-$(s,t)$-WT的完整刻画。
• 阐明序列$\{a_k\}$在决定可 tractability 中的作用，特别是当$\lim_{k\to\infty}a_k = \infty$或$\lim_{k\to\infty}a_k < \infty$时的情形。
• 比较最坏情况与平均情况设置下的可 tractability，表明在某些条件下，ABS（绝对误差）与NOR（归一化误差）设置下两者等价。

提出的方法

• 使用再生核希尔伯特空间$H(K_{d,{\bf a},{\bf b}})$，其中乘积形式的解析Korobov核由$K_{d,{\bf a},{\bf b}}({\bf x},{\bf y}) = \sum_{{\bf h} \in \mathbb{Z}^d} \omega^{\sum_{k=1}^d a_k |h_k|^{b_k}} \exp(2\pi i {\bf h} \cdot ({\bf x} - {\bf y}))$定义。
• 通过最小误差的对数和所需泛函数量的界来分析信息复杂度$n(\varepsilon, S_d)$，并以$\ln n(\varepsilon, S_d)$作为可 tractability 的代理指标。
• 应用先前文献中的已知结果（例如，[13]、[14]、[2]），将平均情况下的EC-$(s,t)$-WT与最坏情况联系起来，尤其通过在特定条件下ABS与NOR设置之间的等价性。
• 通过分析$\ln n(\varepsilon, S_d)$在$\varepsilon^{-1} + d \to \infty$时的渐近行为，推导出必要与充分条件，重点考察$\ln n(\varepsilon, S_d)$相对于$(\ln \varepsilon^{-1})^s + d^t$的增长率。
• 使用Young不等式和对数界来控制$s_d$和$\ln n(\varepsilon, S_d)$的增长，特别是在$s>1$、$t<1$的情形下。
• 利用恒等式$\frac{\ln n^{\rm avg,ABS}(\varepsilon,d)}{(\ln \varepsilon^{-1})^s + d} = \frac{[\ln(e^{\rm avg}(0,d)\varepsilon^{-1})]^s + d}{(\ln \varepsilon^{-1})^s + d} \cdot \frac{\ln n^{\rm avg,NOR}((e^{\rm avg}(0,d))^{-1}\varepsilon,d)}{[\ln(e^{\rm avg}(0,d)\varepsilon^{-1})]^s + d}$，将不同设置下的平均情况复杂度联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当$0 < \min(s,t) < 1$且$\max(s,t) \leq 1$时，在最坏情况设置下，序列$\{a_k\}$需要满足什么必要与充分条件，才能使EC-$(s,t)$-弱可 tractability 成立？
• RQ2 在平均情况设置下，EC-$(s,t)$-弱可 tractability 在什么条件下成立，其中$s,t > 0$？
• RQ3 EC-$(s,t)$-WT在最坏情况与平均情况设置下的条件有何不同，特别是当$s<1$、$t<1$，或$s>1$、$t<1$时？
• RQ4 当序列$\{a_k\}$发散，即$\lim_{k\to\infty} a_k = \infty$时，它在确保$s \geq 1$、$t=1$时的EC-$(s,t)$-WT中起什么作用？
• RQ5 EC-$(s,t)$-WT在$s>1$、$t<1$时是否可仅通过$a_k$的衰减来刻画？如果是，其精确条件是什么？

主要发现

• 在最坏情况设置下，当$s \geq 1$且$t=1$时，EC-$(s,t)$-WT成立当且仅当$\lim_{k\to\infty} a_k = \infty$；当$s<1$、$t\leq1$时，EC-$(s,t)$-WT成立当且仅当$\sum_{k=1}^\infty \omega^{a_k} < \infty$。
• 在平均情况设置下，当$0<s\leq1$、$t>1$时，EC-$(s,t)$-WT无条件成立；当$s>1$、$t<1$时，EC-$(s,t)$-WT成立当且仅当$\sum_{k=1}^\infty \omega^{a_k} < \infty$。
• 当$s>1$、$t<1$时，EC-$(s,t)$-WT在平均情况设置下成立当且仅当$\sum_{k=1}^\infty \omega^{a_k} < \infty$，这同时也是$s<1$、$t\leq1$时EC-$(s,t)$-WT的必要与充分条件。
• 当$s=1$、$t<1$时，EC-$(s,t)$-WT在平均情况设置下成立当且仅当$\sum_{k=1}^\infty \omega^{a_k} < \infty$，这等价于条件$\lim_{k\to\infty} a_k = \infty$。
• 通过关联$n^{\rm avg,ABS}$与$n^{\rm avg,NOR}$的恒等式，建立了平均情况可 tractability 中ABS与NOR设置之间的等价性，从而实现了在归一化误差与绝对误差准则之间结果的转移。
• 对于$s>1$、$t<1$的情形，证明显示在$\sum_{k=1}^\infty \omega^{a_k} < \infty$条件下，有$\lim_{\varepsilon^{-1}+d\to\infty} \frac{\ln n^{\rm avg,ABS}(\varepsilon,d)}{(\ln \varepsilon^{-1})^s + d^t} = 0$，从而确认该条件是充分且必要的。