[论文解读] A note on a Cayley graph of S_n

Guillaume Chapuy, Valentin Féray|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2012

Graph theory and applications参考文献 11被引用 9

一句话总结

本篇笔记证明了由对换 $(1,i)$（$2 \leq i \leq n$）生成的对称群 $\mathfrak{S}_n$ 上的凯莱图谱完全由 $\mathfrak{S}_n$ 的表示理论决定，具体通过朱可夫斯基-默菲元素的特征值实现。关键结果为所有特征值均为整数，其重数由标准杨表的取值统计决定，且当 $n \to \infty$ 时，谱测度渐近服从半圆律。

ABSTRACT

Recently in graph theory several authors have studied the spectrum of the Cayley graph of the symmetric group S_n generated by the transpositions (1, i) for 2 <= i <= n. Several conjectures were made and partial results were obtained. The purpose of this note is to point out that, as mentioned also by P. Renteln, this problem is actually already solved in another context. Indeed it is equivalent to studying the spectrum of so-called Jucys-Murphy elements in the algebra of the symmetric group, which is well understood. The aforementioned conjectures are direct consequences of the existing theory. We also present a related result from P. Biane, giving an asymptotic description of this spectrum. We insist on the fact that this note does not contain any new results, but has only been written to convey the information from the algebraic combinatorics community to graph theorists.

研究动机与目标

• 解决关于由对换 $(1,i)$ 生成的 $\mathfrak{S}_n$ 上凯莱图谱的开放问题，该问题曾被猜想具有整特征值。
• 阐明此谱问题等价于在代数组合学中已建立的框架下分析群代数 $\mathbb{C}[\mathfrak{S}_n]$ 中朱可夫斯基-默菲元素的特征值。
• 通过标准杨表与取值统计，直接推导谱的整特征值性质及其重数结构。
• 基于随机矩阵理论中的矩收敛技术，提出谱的渐近描述，即半圆律。
• 将代数组合学中已知结果传播至图论领域，强调此处未提出新结果，仅进行综合与澄清。

提出的方法

• 通过邻接矩阵乘法对应于左乘朱可夫斯基-默菲元素 $J_n$ 的事实，将凯莱图的谱等同于 $\mathbb{C}[\mathfrak{S}_n]$ 中 $J_n$ 的谱。
• 利用在不可约表示 $V_\lambda$ 上的作用计算 $J_n$ 的特征值，其中 $J_n v_T = c_T(n) v_T$，$T$ 为以标准杨表索引的基。
• 特征值 $k$ 的重数计算为 $\mathrm{mul}(k) = \sum_{\lambda \vdash n} f_\lambda \cdot I_\lambda(k)$，其中 $I_\lambda(k)$ 表示形状为 $\lambda$ 的标准杨表中 $n$ 所在方格的取值为 $k$ 的数量。
• 通过将特征值缩放为 $k / (2\sqrt{n})$，并利用非交叉配对的组合枚举技术，证明其矩收敛于半圆律的矩。
• 通过将单位元的分解数表示为对换 $(i_n)$ 的形式，证明缩放谱测度的矩收敛于半圆律矩，且此类分解数渐近正比于 $n^p \cdot \mathrm{Cat}(p)$（当 $k=2p$ 时）。
• 利用 $J_n^k$ 乘积中索引的非交叉配对来枚举贡献项，每种配对贡献 $\mathrm{Cat}(p)$ 种构型及依赖于 $n$ 的权重。

实验结果

研究问题

• RQ1 由对换 $(1,i)$（$2 \leq i \leq n$）生成的 $\mathfrak{S}_n$ 上凯莱图的完整谱是什么？
• RQ2 特征值及其重数如何与 $\mathfrak{S}_n$ 的表示理论相关联？
• RQ3 当 $n \to \infty$ 时，特征值的渐近分布是什么？
• RQ4 能否利用朱可夫斯基-默菲元素的已知结果解决此前关于谱的猜想？
• RQ5 该凯莱图的谱测度是否渐近服从半圆律？

主要发现

• 由对换 $(1,i)$ 生成的 $\mathfrak{S}_n$ 上凯莱图的所有特征值均为整数，证实了 [1, 猜想 2.14] 的猜想。
• 特征值 $k$ 的重数为 $\mathrm{mul}(k) = \sum_{\lambda \vdash n} f_\lambda \cdot \mathrm{card}\{T \in \mathcal{T}(\lambda) \mid c_T(n) = k\}$，其中 $f_\lambda$ 为形状 $\lambda$ 的标准杨表数量。
• 谱位于 $\{-(n-1), \dots, n-1\}$ 内，且 $\mathrm{mul}(-n+1) = \mathrm{mul}(n-1) = 1$，当 $n > 3$ 时 $\mathrm{mul}(0) \neq 0$。
• 当 $n > 3$ 时，谱为完整区间 $\{-(n-1), \dots, n-1\}$；当 $n=2$ 或 $n=3$ 时，谱不包含 0。
• 缩放特征值 $k / (2\sqrt{n})$ 的谱测度在 $n \to \infty$ 时依分布收敛于半圆律，其矩与半圆分布的矩一致。
• 特征值 $l$ 的重数获得一个改进的下界 $\mathrm{mul}(l) \geq \binom{n-2}{l-1} \binom{n-1}{l}$，该下界由钩形杨表导出，优于先前的界限。