[论文解读] A note on a fundamental domain for Siegel-Jacobi space

Jae-Hyun Yang|ArXiv.org|Jul 11, 2005

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 20

一句话总结

本文为Siegel-Jacobi空间 $\Gamma_{g,h} \backslash \mathbb{H}_{g,h}$ 构造了一个基本域，其中 $\Gamma_{g,h} = \Gamma_g \ltimes H_\mathbb{Z}^{(g,h)}$ 作用于 $\mathbb{H}_g \times \mathbb{C}^{(h,g)}$。它在基本域上构造了一个 $G^J$-不变的黎曼度量，并证明了与阿贝尔簇 $A_\Omega$ 相关的拉普拉斯算子的谱分解，表明函数 $E_{\Omega;A,B}$ 构成 $L^2(A_\Omega)$ 的完备正交基。

ABSTRACT

In this paper, we study a fundamental domain for the Siegel-Jacobi space $Sp(g,{\mathbb Z})\ltimes H_{\mathbb Z}^{(g,h)}\backslash {\mathbb H}_g imes {\mathbb C}^{(h,g)}$.

研究动机与目标

• 确定Jacobi群 $\Gamma_{g,h} = \Gamma_g \ltimes H_\mathbb{Z}^{(g,h)}$ 在Siegel-Jacobi空间 $\mathbb{H}_g \times \mathbb{C}^{(h,g)}$ 上作用的基本域。
• 在基本域上构造一个 $G^J$-不变的黎曼度量，确保在Jacobi群作用下保持不变。
• 研究与 $\Omega \in \mathcal{F}_g$（Siegel基本域）相关的阿贝尔簇 $A_\Omega$ 上拉普拉斯算子的谱理论。
• 通过函数 $E_{\Omega;A,B}$ 建立希尔伯特空间 $L^2(A_\Omega)$ 的完备正交基。

提出的方法

• 通过利用Jacobi群 $G^J = Sp(g,\mathbb{R}) \ltimes H_\mathbb{R}^{(g,h)}$ 的半直积结构，将Siegel的基本域 $\mathcal{F}_g$ 对 $\Gamma_g \backslash \mathbb{H}_g$ 的扩展，构造出Siegel-Jacobi空间上的基本域。
• 通过度量 $ds^2 = \sigma((Y^{-1}dY)^2) + \sigma(\text{Im}\,\Omega \, dZ \, {}^t d\overline{Z})$ 的拉回，定义 $\mathbb{H}_g \times \mathbb{C}^{(h,g)}$ 上的 $G^J$-不变黎曼度量，其中 $Y = \text{Im}\,\Omega$。
• 通过验证微分算子 $\Delta_\Omega = \sigma(\text{Im}\,\Omega \, \partial_Z \, {}^t \partial_{\overline{Z}})$ 在变换 $\tilde{Z} = (C\Omega + D)^{-1}(Z + \lambda\Omega + \mu)$ 下保持不变，证明该度量在 $\Gamma_{g,h}$ 作用下不变。
• 通过将 $A_\Omega = \mathbb{C}^{(h,g)} / (\mathbb{Z}^{(h,g)} \times \mathbb{Z}^{(h,g)})$ 识别为复环面，并利用微分同胚 $\Phi_\Omega$ 将标准傅里叶基 $E_{A,B}(W) = e^{2\pi i \sigma({}^t A P + {}^t B Q)}$ 从 $T = \mathbb{R}^{(h,g)} \times \mathbb{R}^{(h,g)} / \mathbb{Z}^{(h,g)} \times \mathbb{Z}^{(h,g)}$ 转移到 $A_\Omega$，发展谱理论。
• 函数 $E_{\Omega;A,B}$ 定义为 $E_{A,B}$ 沿 $\Phi_\Omega$ 的拉回，其在 $L^2(A_\Omega)$ 中的正交性通过归一化体积形式 $dv_\Omega$ 建立。

实验结果

研究问题

• RQ1 Jacobi群 $\Gamma_{g,h}$ 在Siegel-Jacobi空间 $\mathbb{H}_g \times \mathbb{C}^{(h,g)}$ 上作用的基本域是什么？
• RQ2 如何在Siegel-Jacobi空间的基本域上构造一个 $G^J$-不变的黎曼度量？
• RQ3 与 $\Omega \in \mathcal{F}_g$ 相关的阿贝尔簇 $A_\Omega$ 上拉普拉斯算子的谱分解是什么？
• RQ4 集合 $\{E_{\Omega;A,B} \mid A,B \in \mathbb{Z}^{(h,g)}\}$ 是否构成 $L^2(A_\Omega)$ 的完备正交基？

主要发现

• 通过将Siegel的基本域 $\mathcal{F}_g$ 对 $\Gamma_g \backslash \mathbb{H}_g$ 的扩展，构造了 $\Gamma_{g,h} \backslash \mathbb{H}_g \times \mathbb{C}^{(h,g)}$ 的基本域。
• 通过表达式 $ds^2 = \sigma((Y^{-1}dY)^2) + \sigma(\text{Im}\,\Omega \, dZ \, {}^t d\overline{Z})$ 在 $\mathbb{H}_g \times \mathbb{C}^{(h,g)}$ 上定义了一个 $G^J$-不变的黎曼度量，且该度量在Jacobi群作用下保持不变。
• 拉普拉斯算子 $\Delta_\Omega = \sigma(\text{Im}\,\Omega \, \partial_Z \, {}^t \partial_{\overline{Z}})$ 在 $\Gamma_{g,h}$ 作用下不变，这是通过 $\partial_Z$ 和 $\partial_{\overline{Z}}$ 的变换规则所证明的。
• 函数 $E_{\Omega;A,B}(Z) = e^{2\pi i \sigma({}^t A \, \text{Re}(Z) + {}^t B \, \text{Im}(Z))}$ 关于归一化体积形式 $dv_\Omega$ 构成 $L^2(A_\Omega)$ 的完备正交基。
• $L^2(A_\Omega)$ 的谱分解为 $L^2(A_\Omega) = \oplus_{A,B \in \mathbb{Z}^{(h,g)}} \mathbb{C} \cdot E_{\Omega;A,B}$，其中每个 $E_{\Omega;A,B}$ 是 $\Delta_\Omega$ 的特征函数。