[论文解读] A note on a supersingular K3 surface in characteristic 2

Toshiyuki Katsura, Shigeyuki Kondō|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文通过在特征 2 下，利用一个阶为 3 的对称自同构作用于一个 supersingular 椭圆曲线 $E$ 的积 $E \times E$ 的商，构造了一个 Artin 不变量为 1 的 supersingular K3 表面。该构造基于广义 Kummer 表面，显式展示了 42 条互不相交的有理曲线构成的 $(21)_5$-配置——其中 18 条来自 $A_2$-奇点的解析，另外 24 条来自商空间上的椭圆曲线——每条曲线恰好与另一组中的五条曲线相交，从而为该特征下唯一的 supersingular K3 表面提供了新的几何实现。

ABSTRACT

We construct, on a supersingular K3 surface with Artin invariant 1 in characteristic 2, a set of 21 disjoint smooth rational curves and another set of 21 disjoint smooth rational curves such that each curve in one set intersects exactly 5 curves from the other set with multiplicity 1 by using the structure of a generalized Kummer surface.

研究动机与目标

• 为特征 2 下 Artin 不变量为 1 的唯一 supersingular K3 表面提供一种新的几何构造。
• 通过广义 Kummer 表面的结构，实现在该表面上的 $(21)_5$-配置的 42 条互不相交的有理曲线。
• 证明该表面是 $E \times E / \langle \sigma \rangle $ 的最小解析，其中 $\sigma$ 是 supersingular 椭圆曲线 $E$ 上阶为 3 的自同构，由此产生 18 条来自 $A_2$-奇点的例外曲线。
• 证明 $E \times E$ 上的 24 条椭圆曲线及其在解析后的像构成一个 $(21)_5$-配置，从而完成该表面的新实现。

提出的方法

• 将广义 Kummer 表面 $\mathrm{GKm}(A)$ 构造为商 $A / \langle \iota \rangle $ 的最小解析，其中 $A = E \times E$ 且 $\iota$ 是阶为 3 的对称自同构。
• 在 $\mathrm{GKm}(A)$ 上识别出 18 条有理曲线，作为商奇点中 9 个 $A_2$ 型有理双曲点的例外除子。
• 在 $\mathrm{GKm}(A)$ 上识别出另外 24 条有理曲线，作为在群作用下不变的 $E \times E$ 上椭圆曲线的像。
• 利用 Néron-Tate 高度配对与 Néron-Severi 模式上的交集理论，验证 24 条曲线与 18 条例外曲线构成一个 $(21)_5$-配置。
• 通过 Tate–Shioda 公式确认 $\mathrm{GKm}(A)$ 的 Picard 数为 22，Artin 不变量为 1，从而证明其同构于特征 2 下唯一的 supersingular K3 表面。
• 通过具有四个 $I_6$ 纤维和 18 条截面的椭圆纤维结构，建立 $\mathrm{GKm}(A)$ 与已知 supersingular K3 表面模型之间的同构关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 $E \times E$ 上阶为 3 的对称自同构构造出特征 2 下 Artin 不变量为 1 的唯一 supersingular K3 表面？
• RQ2 由 $A_2$-奇点解析产生的 18 条例外曲线与商空间上 24 条椭圆曲线是否构成一个 $(21)_5$-配置的有理曲线？
• RQ3 $\mathrm{GKm}(A)$ 上的椭圆纤维结构（含四个 $I_6$ 纤维和 18 条截面）如何与已知的 supersingular K3 表面模型相关联？
• RQ4 在 $\mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2$ 上定义的、通过交换坐标实现的对合 $\iota$ 在该表面上起什么作用？它与 $(21)_5$-配置有何关联？
• RQ5 广义 Kummer 表面 $\mathrm{GKm}(A)$ 是否同构于 Artin 不变量为 1 的 supersingular K3 表面？哪些不变量可证实这一点？

主要发现

• 与 $A = E \times E$ 相关的广义 Kummer 表面 $\mathrm{GKm}(A)$，以及阶为 3 的对称自同构，是一个 Artin 不变量为 1 的 supersingular K3 表面。
• 该表面包含 18 条来自商 $A / \langle \sigma \rangle $ 上 9 个 $A_2$ 型有理双曲点解析的例外有理曲线。
• 该表面还包含 24 条额外的有理曲线，即 $E \times E$ 上椭圆曲线的像，与 18 条例外曲线共同构成一个 $(21)_5$-配置。
• 24 条曲线族中的每条曲线恰好与 18 条曲线族中的五条曲线相交（反之亦然），交点重数为 1。
• $\mathrm{GKm}(A)$ 上的椭圆纤维结构包含四个 $I_6$ 型奇异纤维，且 18 条例外曲线构成一个同构于 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 的 Mordell-Weil 群。
• 表面 $\mathrm{GKm}(A)$ 同构于特征 2 下 Artin 不变量为 1 的唯一 supersingular K3 表面，该结论由 Picard 数 22 和 Tate–Shioda 公式得出的判别式 $-2^2$ 所证实。