[论文解读] A note on an alternative iterative method for nonexpansive mappings

Laurenţiu Leuştean, Adriana Nicolae|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2015

Optimization and Variational Analysis参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文证明了在测地空间中，非扩张映射的一种替代迭代方法与著名的Halpern迭代在本质上是等价的。通过证明该替代方法生成的序列是Halpern迭代的重新参数化形式，作者确立了Halpern方法的所有强收敛性和渐近正则性结果可直接适用于该替代方法，无需任何修改。

ABSTRACT

In this note we point out that results on the asymptotic behaviour of an alternative iterative method are corollaries of corresponding results on the well-known Halpern iteration.

研究动机与目标

• 澄清非扩张映射的替代迭代方法与经典Halpern迭代之间的关系。
• 解决文献中关于替代迭代方案收敛行为的模糊性。
• 确立Halpern迭代的强收敛性和渐近正则性结果可直接适用于替代方法。
• 为在替代迭代方法背景下重用现有定量收敛结果提供理论基础。

提出的方法

• 定义替代迭代序列 $ x_{n+1} = T(\nu_{n+1}u + (1-\nu_{n+1})x_n) $，其中 $ T $ 为非扩张映射，且 $ (\nu_n) \subseteq [0,1] $。
• 引入辅助序列 $ y_{n+1} = \nu_{n+1}u + (1-\nu_{n+1})x_n $，满足对所有 $ n \geq 1 $ 有 $ x_n = T y_n $。
• 证明 $ (y_n) $ 满足Halpern迭代的递推关系：$ y_{n+1} = \nu_{n+1}u + (1-\nu_{n+1})T y_n $。
• 利用 $ T $ 的非扩张性，推导出对任意 $ T $ 的不动点 $ p $，有不等式 $ d(x_n, p) \leq d(y_n, p) $。
• 建立 $ d(x_m, x_n) \leq d(y_m, y_n) $，表明 $ (y_n) $ 的收敛性和正则性性质可传递至 $ (x_n) $。
• 利用已知的Halpern迭代结果，得出 $ (y_n) $ 的强收敛性和渐近正则性可推出 $ (x_n) $ 具有相同的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在测地空间中，非扩张映射的替代迭代方法与Halpern迭代在本质上是否不同？
• RQ2 Halpern迭代的收敛性和正则性结果能否直接传递给替代迭代方法？
• RQ3 该替代方法是否继承了与Halpern迭代相同的渐近正则性速率？
• RQ4 在何种条件下，替代迭代序列会强收敛于 $ T $ 的不动点？
• RQ5 Halpern迭代的定量收敛结果能否无需修改地应用于替代方法？

主要发现

• 由 $ y_{n+1} = \nu_{n+1}u + (1-\nu_{n+1})x_n $ 定义的序列 $ (y_n) $ 是标准的Halpern迭代。
• 由替代方法生成的序列 $ (x_n) $ 满足对所有 $ n \geq 1 $ 有 $ x_n = T y_n $，因此是Halpern序列的重新参数化形式。
• 若 $ (y_n) $ 强收敛于 $ T $ 的不动点 $ p $，则 $ (x_n) $ 也强收敛于 $ p $。
• 若 $ (y_n) $ 的渐近正则性速率记为 $ \Phi $，则 $ (x_n) $ 同样具有相同的渐近正则性速率，定量界得以保持。
• Halpern迭代的所有强收敛性和渐近正则性结果均可直接应用于替代迭代方法。
• 文献[13, 定理4.1]中关于替代方法的主要结果，是已知Halpern迭代结果（包括[12, 定理3.1]和[10, 9]）的推论。