[论文解读] A note on (asymptotically) Weyl-almost periodic properties of convolution products

В. Е. Федоров, Marko Kostić|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2018

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 4被引用 2

一句话总结

本文研究了在有限与无限卷积积下 Weyl-p-几乎周期性及渐近 Weyl-p-几乎周期性性质的不变性，重点分析了具有特定增长率（1.2）和（1.3）的预解算子族。主要贡献在于建立了卷积积保持这些几乎周期性性质的充分条件，尤其针对具有退化或非退化核的抽象分数阶微分方程。

ABSTRACT

The main aim of this paper is to investigate Weyl-p-almost periodic properties and asymptotically Weyl-p-almost periodic properties of convolution products. Obtained results were applied to the considering of the existence and the uniqueness of a solution with the appropriate properties for abstract fractional differential inclusions of some classes. In such a way, we continue several recent research studies of ours which do concern a similar problematic.

研究动机与目标

• 研究卷积积下 Weyl-p-几乎周期性及渐近 Weyl-p-几乎周期性性质的保持性。
• 分析具有增长率（1.2）和（1.3）的预解算子族在决定解的几乎周期性中的作用。
• 通过更正文献[10]中命题2.1在 p > 1 时的错误，扩展了卷积积的先前结果。
• 为抽象分数阶微分包含建立（渐近）Weyl-p-几乎周期解的存在性与唯一性。
• 将理论结果应用于具体方程，包括分数阶泊松热方程和阻尼波动型方程。

提出的方法

• 利用 Weyl 距离和 Stepanov 范数定义 Weyl-p-几乎周期性及其渐近版本。
• 分析形如 G(t) = ∫_{-∞}^t R(t−s)g(s) ds 的卷积积，其中 g 为（等度）Weyl-p-几乎周期函数。
• 考虑两种增长率条件：当 t > 0 时，∥R(t)∥ ≤ Me^{-ct}t^{β−1}（1.2）和 ∥R(t)∥ ≤ M t^{β−1}/(1 + t^γ)（1.3），其中 γ > 1。
• 将结果应用于涉及 Weyl-Liouville 和 Caputo 型分数阶导数的抽象分数阶微分包含。
• 利用预解集条件 (P) 及对解算子 T(t)、Rγ(t) 和 Sγ(t) 的估计，推导出有界性与衰减性质。
• 将理论应用于具体 PDE，如 Lp(Ω) 或 H^{-1}(Ω) 中的分数阶泊松热方程和阻尼波动型方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Weyl-p-几乎周期函数与预解族的卷积积本身也是 Weyl-p-几乎周期的？
• RQ2 预解族的不同增长率（如（1.2）和（1.3））如何影响结果卷积的几乎周期性？
• RQ3 当预解在零点不强连续时，能否建立渐近 Weyl-p-几乎周期函数在卷积下的不变性？
• RQ4 对于抽象分数阶微分包含，（渐近）Weyl-p-几乎周期解的存在性与唯一性的充分条件是什么？
• RQ5 理论结果如何应用于建模现实世界现象，如分数阶热方程和波动方程？

主要发现

• 通过引入拟渐近几乎周期函数类，更正了文献[10]中命题2.1在 p > 1 时的错误。
• 对于满足（1.2）或（1.3）的预解族，卷积积保持了强迫项 g 的 Weyl-p-几乎周期性。
• 分数阶方程的解算子 Rγ(t) 满足：当 t ∈ (0,1] 时，‖Rγ(t)‖ ≤ M1 t^{γβ−1}；当 t ≥ 1 时，≤ M2 t^{-1−γ}。
• 在给定的增长率与预解条件之下，结果确保了抽象分数阶包含（3.3）的（等度）Weyl-p-几乎周期解的存在性与唯一性。
• 该理论成功应用于 Lp(Ω) 或 H^{-1}(Ω) 中的分数阶泊松热方程和阻尼波动型方程，确认了渐近 Weyl-p-几乎周期解的存在性。
• 该框架适用于退化与非退化方程，并涵盖 Weyl-Liouville 与 Caputo 分数阶导数。