[论文解读] A note on Aubin-Lions-Dubinskii lemmas

Xiuqing Chen, Ansgar Jüngel+1 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2013

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文针对赋半范数的非负锥中函数族，改进了Aubin-Lions-Dubinskiï¿¿引理，在较宽松条件下建立了在$L^p(0,T;B)$中的强紧性。该研究推广了Dubinskiï¿¿、Dreher-Jüringel以及Chen-Liu的先前结果，尤其适用于时间上的分段常数函数，并将成果应用于多孔介质方程和快扩散方程。

ABSTRACT

Strong compactness results for families of functions in seminormed nonnegative cones in the spirit of the Aubin-Lions-Dubinski\uı lemma are proven, refining some recent results in the literature. The first theorem sharpens slightly a result of Dubinski\uı (1965) for seminormed cones. The second theorem applies to piecewise constant functions in time and sharpens slightly the results of Dreher and Jüngel (2012) and Chen and Liu (2012). An application is given, which is useful in the study of porous-medium or fast-diffusion type equations.

研究动机与目标

• 针对巴拿赫空间中赋半范数的非负锥内的函数族，改进和推广紧性结果。
• 将Aubin-Lions-Dubinskiï¿¿引理推广至底层空间为半范数锥而非完整巴拿赫空间的情形。
• 改进时间上分段常数函数的现有结果，尤其在Rothe方法和离散时间逼近的背景下。
• 为$L^p(0,T;B)$中的紧性提供统一框架，适用于多孔介质和快扩散型等非线性演化方程。
• 确立时间平移有界性蕴含$L^p$空间中相对紧性的条件，即使经典Aubin-Lions假设被放宽。

提出的方法

• 作者为赋半范数锥$M_n$中的序列引入了一种广义的Ehrling型不等式，将$B$中的范数与$M_n$上的半范数以及$Y_n$中的范数联系起来。
• 证明若$M_n$中的序列在半范数下有界且在$Y_n$中收敛于零，则其在$B$中的极限必为零，从而确保了一种类相对紧性。
• 关键技巧在于利用时间平移条件$\|\sigma_h u_n - u_n\|_{L^p(0,T-h;Y_n)} \to 0$对所有$n$一致成立（当$h \to 0$时），来控制时间平移$\|\sigma_h u_n - u_n\|_{L^p(0,T-h;B)}$，从而推出$L^p(0,T;B)$中的相对紧性。
• 对于时间上的分段常数函数，作者使用离散时间平移条件$\|\sigma_\tau u_\tau - u_\tau\|_{L^r(0,T-\tau;Y)} \leq C\tau$以避免构造Rothe函数。
• 通过涉及$\|u\|_B \leq C_\theta \|u\|_X^{1-\theta} \|u\|_Y^\theta$的插值不等式控制$B$中的范数，利用$X$和$Y$中的范数实现中间空间中的紧性。
• 证明依赖于紧嵌入定理和一致的时间平移估计，将Simon和Maitre的结果推广至赋半范数锥的设定。

实验结果

研究问题

• RQ1 Aubin-Lions-Dubinskiï¿¿引理能否在函数取值于半范数非负锥而非完整巴拿赫空间时得到加强？
• RQ2 在$M_+ \hookrightarrow B$紧嵌入且$M_+ \cap Y \neq \emptyset$的条件下，$L^p(0,T;M_+)$中有界性与在$Y$中一致的时间平移控制是否蕴含$L^p(0,T;B)$中的相对紧性？
• RQ3 经典Aubin-Lions引理如何适应于无需构造Rothe函数的时间离散逼近（如分段常数时间离散近似）？
• RQ4 在离散解序列满足时间平移条件时，紧性结果能否扩展至$p=\infty$的情形？
• RQ5 当$Y_n$依赖于$n$时，序列在$L^p(0,T;M_n)$中有界且时间平移在$Y_n$中趋于零，何种条件可确保其在$L^p(0,T;B)$中相对紧？

主要发现

• 本文证明了赋半范数非负锥$M_+$的Aubin-Lions-Dubinskiï¿¿引理的改进版本，表明若$M_+ \hookrightarrow B$紧嵌入且$M_+ \cap Y \neq \emptyset$，则$L^p(0,T;M_+ \cap Y)$中有界性与在$Y$中的一致时间平移控制可推出$L^p(0,T;B)$中的相对紧性。
• 对于时间上的分段常数函数，条件$\|\sigma_\tau u_\tau - u_\tau\|_{L^r(0,T-\tau;Y)} \leq C\tau$（其中$C$与$\tau$无关）蕴含$L^p(0,T;B)$中的相对紧性（$p < \infty$），且当$p = \infty$时，可推出在$L^q(0,T;B)$中对所有$q < \infty$收敛，扩展了Dreher和Jüringel的先前结果。
• 作者为序列$u_n$在$L^p(0,T;M_n \cap Y_n)$中建立了Aubin-Lions-Dubinskiï¿¿引理的离散版本，其中$M_n$是$B$中的赋半范数锥，证明在$Y_n$中一致时间平移收敛可推出$L^p(0,T;B)$中的相对紧性。
• 推导出赋半范数锥的新Ehrling型不等式：对任意$\varepsilon > 0$，存在$C_\varepsilon > 0$，使得$\|u-v\|_B \leq \varepsilon([u]_n + [v]_n) + C_\varepsilon \|u-v\|_{Y_n}$，该不等式对紧性证明至关重要。
• 与文献[10]中的定理1相比，该结果在$p < \infty$时有所改进，允许$r=1$而非要求$r=p$，并扩展了Maitre的非线性紧性结果至$r=1$的情形。
• 本文为多孔介质方程和快扩散方程等非线性PDE提供了适用的紧性框架，因为这些方程的解自然位于非负锥中，且常使用时间离散逼近。