[论文解读] A note on boundary value problems for black hole evolutions

Mihalis Dafermos, Igor Rodnianski|ArXiv.org|Mar 8, 2004

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 3被引用 5

一句话总结

该论文严格证明，在球对称黑洞时空（特别是史瓦西或赖斯纳-诺德斯特伦背景）中，于有限半径处施加索末菲或类似辐射边界条件时，标量场的衰减速率快于任意多项式幂次，从而排除了Price定律尾部的形成。该结论源于对波方程在消除未来类光无穷远处约束条件的边界条件下所应用的归纳论证。

ABSTRACT

In recent work of Allen at. al., heuristic and numerical arguments were put forth to suggest that boundary value problems for black hole evolution, where an appropriate Sommerfeld radiation condition is imposed, would fail to produce Price law tails. The interest in this issue lies in its possible implications for numerical relativity, where black hole evolution is typically studied in terms of such boundary formulations. In this note, it is shown rigorously that indeed, Price law tails do not arise in this case, i.e. that Sommerfeld (and more general) radiation conditions lead to decay faster than any polynomial power. Our setting is the collapse of a spherically symmetric self-gravitating scalar field. We allow an additional gravitationally coupled Maxwell field. The proof also applies to the easier problem of a spherically symmetric solution of the wave equation on a Schwarzschild or Reissner-Nordstrom background. The method relies on previous work of the authors.

研究动机与目标

• 研究在球对称黑洞时空中，于有限半径处施加索末菲辐射边界条件是否能产生Price定律尾部。
• 阐明此类边界条件对数值相对论的影响，其中此类条件被广泛使用。
• 严格建立在这些条件下衰减速率超过任意多项式幂次，从而否定标准 $v^{-3}$ 尾部的出现。
• 将先前关于球对称引力坍缩中衰减速率的研究结果，扩展至具有有限外边界条件的边值问题形式。

提出的方法

• 分析基于球对称下的爱因斯坦-闵可夫斯基-标量场系统，为简化起见将波方程解耦。
• 作者采用在先进时间 $v$ 下对事件视界进行二元分解，以控制标量场及其导数的 $L^2$ 范数。
• 应用归纳论证，由于未来类光无穷远处的约束被消除，每一步骤均使衰减速率提高一个固定的多项式幂次。
• 关键方程包括在类光坐标下的波方程、质量量度函数 $\mu$ 的演化方程，以及重整化的霍金质量 $\varpi$。
• 在 $r = R$ 处施加边界条件，包括 $\lambda = 1$、$r = R$，以及沿类时边界 $\Gamma$ 上质量 $m$ 非增，以确保正则性与因果性。
• 证明依赖于先前的工作（Dafermos-Rodnianski, 2005），并通过移除未来类光无穷远辐射影响的方式，调整其衰减估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在球对称黑洞时空中，于有限半径 $r = R$ 处施加索末菲辐射边界条件是否会导致Price定律尾部的形成？
• RQ2 在这些边界条件下，标量场解的渐近衰减速率是多少？
• RQ3 未来类光无穷远处约束的缺失如何影响先前工作中使用的归纳衰减论证？
• RQ4 若引入麦克斯韦场或引力耦合，此类边界条件下的衰减行为是否会改变？
• RQ5 在 $r = R$ 处的边界条件在多大程度上否定了Price基于启发式方法预测的标准 $v^{-3}$ 尾部行为？

主要发现

• 对于任意 $p > 0$，标量场 $\theta$ 满足 $|\theta(u,v)| \leq C_p v^{-p}$，即衰减速率快于任意多项式幂次。
• 衰减速率不限于Price定律中的 $v^{-3}$；相反，可通过归纳论证无限改进。
• 在 $r = R$ 处的边界条件消除了对来自未来类光无穷远辐射的考虑，而此类辐射在标准情形下将衰减速率限制在 $v^{-3+\epsilon}$ 以内。
• 证明建立了在边界 $\Gamma$ 上 $\left|\frac{\zeta}{\nu}\right| \leq C v^{-(q + 1/4)}$，并通过波方程传播至内部区域。
• 该结果对爱因斯坦-标量场系统以及固定史瓦西或赖斯纳-诺德斯特伦背景下的简化波方程均成立。
• 该方法证实了Allen等人（2004）的启发式与数值结果，即在索末菲边界条件下，Price定律尾部不会形成。