[论文解读] A note on BSDEs and SDEs with time advanced and delayed coefficients

Shiqiu Zheng, Gaofeng Zong|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2017

Stochastic processes and financial applications被引用 1

一句话总结

本文引入了系数依赖于解的当前、过去和未来值的倒向随机微分方程（BSDEs）与随机微分方程（SDEs）。在时间延迟或利普希茨常数较小时，证明了存在性与唯一性，并建立了两类方程之间的对偶关系。

ABSTRACT

This paper introduces a class of backward stochastic differential equations (BSDEs), whose coefficients not only depend on the value of its solutions of the present but also the past and the future. For a sufficiently small time delay or a sufficiently small Lipschitz constant, the existence and uniqueness of such BSDEs is obtained. As the adjoint process, a class of stochastic differential equations (SDEs) is introduced, whose coefficients also depend on the present, the past and the future of its solutions. The existence and uniqueness of such SDEs is proved for a sufficiently small time advance or a sufficiently small Lipschitz constant. A duality between such BSDEs and SDEs is established.

研究动机与目标

• 通过引入依赖于解的过去与未来值的系数，将经典BSDEs与SDEs推广。
• 解决具有非马氏性、非预测性依赖于未来与过去解状态的随机方程的数学挑战。
• 在时间延迟较小或利普希茨常数较小时，证明此类方程的存在性与唯一性。
• 定义并分析一类系数同样依赖于当前、过去与未来解值的伴随SDE类。
• 在所提出的BSDE与SDE类之间建立对偶关系，推广随机分析中的经典对偶性。

提出的方法

• 引入一类新型BSDE，其生成器依赖于解的当前、过去与未来值。
• 在适当的函数空间中应用不动点论证，证明在时间延迟较小或利普希茨常数较小时的存在性与唯一性。
• 定义一类系数同样依赖于当前、过去与未来解状态的伴随SDE类。
• 利用压缩映射原理，在时间提前较小或利普希茨常数较小时，建立SDE的存在性与唯一性。
• 通过比较解结构与生成器依赖关系，推导出BSDE与其伴随SDE之间的对偶关系。
• 采用专为具有时间遗传效应的非马氏性、非预测性系统设计的随机分析技术。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，系数依赖于解的当前、过去与未来值的BSDE存在唯一解？
• RQ2 如何定义一类伴随SDE，使其系数与BSDE具有相同的时序依赖关系？
• RQ3 在何种条件下可保证具有时间提前与延迟系数的SDE的存在性与唯一性？
• RQ4 如何在这样的BSDE与SDE之间建立对偶关系？
• RQ5 小时间延迟或小利普希茨常数如何影响这些方程的可解性？

主要发现

• 当时间延迟足够小时，或利普希茨常数足够小时，所提出的BSDE的存在性与唯一性得以证明。
• 引入了一类系数依赖于当前、过去与未来解值的伴随SDE类，并在类似的小规模条件下证明其具有唯一解。
• 正式建立了BSDE与其伴随SDE之间的对偶关系，推广了随机控制中的经典对偶性。
• 结果将经典BSDE与SDE理论扩展至包含未来与过去解值的非马氏性、遗传动力系统。
• 该框架为在随机环境中建模具有前瞻或延迟反馈的系统提供了基础。
• 分析依赖于适当随机函数空间中的压缩映射原理，以确保收敛性与唯一性。