[论文解读] A note on Carlitz's type q-Changhee numbers and polynomials

Dmitry V. Dolgy, Gwan-Woo Jang+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2017

Advanced Mathematical Identities参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文通过 $\mathbb{Z}_p$ 上的费米子 $p$-进 $q$-积分，引入了卡利茨型 $q$-张慧多项式与数，通过与 $q$-欧拉多项式及第一类斯特林数的联系，推导出显式公式。主要贡献在于以 $\mathcal{E}_{k,q}(x)$ 和第一类斯特林数表示 $Ch_{n,q}(x)$ 的封闭形式表达式，以及高阶推广和变换恒等式。

ABSTRACT

In this paper, we consider the Carlitz's type q-analogue of Changhee numbers and polynomials and we give some explicit formulae for these numbers and polynomials.

研究动机与目标

• 通过 $\mathbb{Z}_p$ 上的费米子 $p$-进 $q$-积分，定义并研究卡利茨型 $q$-张慧多项式与数。
• 建立 $Ch_{n,q}(x)$ 关于 $q$-欧拉多项式 $\mathcal{E}_{k,q}(x)$ 和第一类斯特林数的显式公式。
• 通过多变量 $p$-进 $q$-积分，将构造推广至高阶 $q$-张慧多项式。
• 利用生成函数与组合系数，推导 $q$-张慧多项式与 $q$-欧拉多项式之间的变换恒等式。

提出的方法

• 将 $q$-张慧多项式的生成函数定义为 $\int_{\mathbb{Z}_p} (1+t)^{[x+y]_q} d\mu_{-q}(y) = \sum_{n=0}^\infty Ch_{n,q}(x) \frac{t^n}{n!}$。
• 将 $Ch_{n,q}(x)$ 表示为包含 $q$-整数、第一类斯特林数 $S_1(n,k)$ 和 $q$-欧拉数 $\mathcal{E}_{k,q}(x)$ 的双重求和。
• 利用展开式 $\log(1+t)^k = \sum_{n=k}^\infty S_1(n,k) \frac{t^n}{n!}$ 关联生成函数并提取系数。
• 通过 $r$ 重 $p$-进 $q$-积分推导高阶 $q$-张慧多项式：$\int_{\mathbb{Z}_p^r} (1+t)^{[x_1+\cdots+x_r+x]_q} d\mu_{-q}^r = \sum_{n=0}^\infty Ch_{n,q}^{(r)}(x) \frac{t^n}{n!}$。
• 通过比较涉及 $e^t - 1$ 和 $\log(1+t)$ 的生成函数中的系数，建立变换恒等式，利用第二类斯特林数将 $Ch_{n,q}^{(r)}(x)$ 与 $\mathcal{E}_{n,q}^{(r)}(x)$ 关联。
• 利用 $p$-进积分的 $d$-进展开，推导出 $Ch_{n,q}(x)$ 关于 $\mathcal{E}_{k,q^d}(\frac{a+x}{d})$ 的广义公式（$d$ 为奇数）。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 $\mathbb{Z}_p$ 上的费米子 $p$-进 $q$-积分定义卡利茨型 $q$-张慧多项式？
• RQ2 如何以 $q$-欧拉多项式与第一类斯特林数表示 $Ch_{n,q}(x)$ 的显式公式？
• RQ3 高阶 $q$-张慧多项式与高阶 $q$-欧拉多项式之间的关系如何通过生成函数建立？
• RQ4 利用斯特林数，$q$-张慧多项式与 $q$-欧拉多项式之间存在哪些变换恒等式？
• RQ5 能否通过 $p$-进积分的 $d$-进分解推导出 $Ch_{n,q}(x)$ 的广义公式？

主要发现

• $q$-张慧多项式显式给出为 $Ch_{n,q}(x) = \sum_{k=0}^n S_1(n,k) \mathcal{E}_{k,q}(x)$，直接将其与 $q$-欧拉多项式关联。
• 推导出封闭形式表达式：$Ch_{n,q}(x) = [2]_q \sum_{k=0}^n \sum_{l=0}^k \frac{1}{(1-q)^k} \binom{k}{l} q^{lx} (-1)^l \frac{S_1(n,k)}{1+q^{l+1}}$，其中包含 $q$-整数与斯特林数。
• 对于高阶 $q$-张慧多项式，有 $Ch_{n,q}^{(r)}(x) = \sum_{k=0}^n S_1(n,k) \mathcal{E}_{k,q}^{(r)}(x)$，表明其与高阶 $q$-欧拉多项式具有相似的结构关系。
• 逆变换关系为 $\mathcal{E}_{n,q}^{(r)}(x) = \sum_{k=0}^n Ch_{k,q}^{(r)}(x) S_2(n,k)$，通过第二类斯特林数建立了对偶性。
• 获得广义公式：$Ch_{n,q}(x) = \frac{[2]_q}{[2]_{q^d}} \sum_{k=0}^n [d]_q^k \left( \sum_{a=0}^{d-1} (-q)^a \mathcal{E}_{k,q^d}\left(\frac{a+x}{d}\right) \right) S_1(n,k)$（$d$ 为奇数），扩展了 $p$-进积分结构。
• 生成函数 $\sum_{n=0}^\infty Ch_{n,q}(x) \frac{t^n}{n!} = \int_{\mathbb{Z}_p} (1+t)^{[x+y]_q} d\mu_{-q}(y)$ 为 $q$-张慧多项式提供了基础的积分表示。