[论文解读] A note on Catalan numbers associated with p-adic integral on Zp

Taekyun Kim|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2016

Advanced Mathematical Identities参考文献 3被引用 14

一句话总结

本文建立了卡塔兰数与$\mathbb{Z}_p$上的费米子$p$-进积分之间的联系，推导出通过$\lambda$-张慧数及欧拉数、斯特林数等特殊数表示卡塔兰数的显式公式。主要贡献在于建立了一个将$C_n$与$p$-进积分和$\frac{1}{2}$-张慧多项式联系起来的魏特定理型公式，从而为卡塔兰数提供了新的$p$-进表示。

ABSTRACT

In this paper, we study Catalan numbers which can be represented by the p-adic integral on Zp and we investigate some properties and formulae related to Catalan numbers and special numbers.

研究动机与目标

• 探索卡塔兰数与$\mathbb{Z}_p$上$p$-进积分之间的关系。
• 利用费米子$p$-进积分和特殊数列，推导卡塔兰数的新表示形式。
• 在$p$-进分析背景下，为卡塔兰数建立一个魏特定理型公式。
• 通过$p$-进积分恒等式，将$\lambda$-张慧多项式与欧拉数联系到卡塔兰数。

提出的方法

• 利用金所定义的$\mathbb{Z}_p$上的费米子$p$-进积分$I_{-1}(f) = \int_{\mathbb{Z}_p} f(x) d\mu_{-1}(x)$，表达包含卡塔兰数的生成函数。
• 应用$\lambda$-张慧多项式的生成函数与$p$-进积分，推导出涉及$\frac{1}{2}$-张慧数的恒等式。
• 通过变量替换如$t \mapsto -4t$等生成函数运算，将$\frac{2}{1+\sqrt{1-4t}}$与卡塔兰数的生成函数关联起来。
• 利用$\sqrt{1-4t}$的展开式与二项式系数，推导出涉及$C_n = \binom{2n}{n}/(n+1)$的恒等式。
• 应用第一类与第二类斯特林数，将$p$-进积分表达式分解为多项式形式。
• 通过比较$p$-进积分表示的幂级数展开中的系数，推导出显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 卡塔兰数如何通过$\mathbb{Z}_p$上的$p$-进积分来表示？
• RQ2 $\frac{1}{2}$-张慧数与卡塔兰数在$p$-进设置下的关系是什么？
• RQ3 能否利用$p$-进积分与特殊数列，为卡塔兰数建立一个魏特定理型公式？
• RQ4 欧拉数与第一类斯特林数如何出现在卡塔兰数的$p$-进表示中？

主要发现

• 本文推导出$C_n = (-1)^n \frac{4^n}{n!} Ch_{n,\frac{1}{2}}$，通过$p$-进积分恒等式将卡塔兰数用$\frac{1}{2}$-张慧数表示。
• 证明了$\int_{\mathbb{Z}_p} \binom{x/2}{n} d\mu_{-1}(x) = \frac{(-1)^n}{4^n(n+1)} \binom{2n}{n}$，将$\mathbb{Z}_p$上的二项式系数与卡塔兰数联系起来。
• 建立了新公式：$C_n = \frac{(-1)^n}{n!} \sum_{m=0}^n 2^{2n-m} E_m S_1(n,m)$，将卡塔兰数与欧拉数及第一类斯特林数联系起来。
• 恒等式$E_m = \sum_{n=0}^m C_n (-1)^n 2^{m-2n} n! S_2(m,n)$将欧拉数与卡塔兰数及第二类斯特林数联系起来。
• 通过$p$-进积分构造了卡塔兰多项式$C_n(x)$，并证明$C_n(x) = \sum_{m=0}^n \sum_{j=0}^m \left(\frac{x}{2}\right)^j S_1(m,j) \frac{(-4)^m}{m!} C_{n-m}$。
• 推导出闭式表达：$C_n = (-1)^{n+1} \frac{4^n (2n-1)}{(n+1)!} \sum_{m=0}^n \left(\frac{1}{2}\right)^m S_1(n,m)$，为卡塔兰数提供了基于$p$-进积分的公式。