[论文解读] A Note on Central Limit Theorems for Linear Spectral Statistics of Large Dimensional F-matrix

Shurong Zheng, Zhidong Bai|arXiv (Cornell University)|May 2, 2013

Random Matrices and Applications参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文在大维F-矩阵的集中样本协方差矩阵下，建立了线性谱统计（LSS）的中心极限定理（CLT），表明当简化样本协方差矩阵被替换为集中版本时，Bai与Silverstein（2004）的CLT结果依然成立，前提是将维数与样本大小之比调整为 $ p/(n-1) $ 和 $ p/(n_i-1) $。关键贡献在于对Pan（2012）结果的简化且等价的重表述，表达更清晰，证明更明确。

ABSTRACT

Sample covariance matrix and multivariate $F$-matrix play important roles in multivariate statistical analysis. The central limit theorems {\sl (CLT)} of linear spectral statistics associated with these matrices were established in Bai and Silverstein (2004) and Zheng (2012) which received considerable attentions and have been applied to solve many large dimensional statistical problems. However, the sample covariance matrices used in these papers are not centralized and there exist some questions about CLT's defined by the centralized sample covariance matrices. In this note, we shall provide some short complements on the CLT's in Bai and Silverstein (2004) and Zheng (2012), and show that the results in these two papers remain valid for the centralized sample covariance matrices, provided that the ratios of dimension $p$ to sample sizes $(n,n_1,n_2)$ are redefined as $p/(n-1)$ and $p/(n_i-1)$, $i=1,2$, respectively.

研究动机与目标

• 解决在高维设置下，使用集中样本协方差矩阵与简化样本协方差矩阵时，线性谱统计（LSS）中心极限定理（CLT）中存在不一致的问题。
• 证明Bai与Silverstein（2004）针对简化样本协方差矩阵的LSS CLT在集中矩阵下依然成立，且需进行适当的渐近尺度修正。
• 将此有效性扩展至多元F-矩阵，表明当维数与样本大小之比重新定义为 $ p/(n_1-1) $ 和 $ p/(n_2-1) $ 时，Zheng（2012）的结果对集中F-矩阵依然成立。
• 提供一种比Pan（2012）更简单、更透明的证明框架，避免引入额外的偏差校正项。

提出的方法

• 通过将原始比值 $ y_n = p/n $ 替换为 $ p/(n-1) $，重新表述集中样本协方差矩阵的LSS的渐近均值与方差表达式。
• 利用谱统计在线性变换下的不变性，以及集中矩阵与简化矩阵之间极限谱分布（LSD）的等价性。
• 应用截断与标准化技术，控制 $ oldsymbol{S}_x $ 与 $ oldsymbol{B}_x $ 的经验谱分布（ESD）之间的误差，表明其差异为 $ O(n^{-1}) $。
• 利用Bai与Silverstein（2009）关于矩阵迹展开与Stieltjes变换的结果，推导出再生核的渐近行为。
• 运用复分析与再生核恒等式，推导涉及 $ oldsymbol{A}^{-1} $、$ oldsymbol{A}^{-2} $ 与 $ oldsymbol{ abla} $ 的迹的极限行为，确保在 $ L_2 $ 中收敛。
• 在复上半平面 $ bC^+ $ 上建立再生核迹的统一收敛性，从而实现对集中矩阵下LSS渐近矩的严格推导。

实验结果

研究问题

• RQ1 当使用集中样本协方差矩阵而非简化版本时，大维样本协方差矩阵的线性谱统计的中心极限定理是否依然成立？
• RQ2 在对集中样本协方差矩阵应用CLT时，维数与样本大小之比的正确渐近尺度是什么？
• RQ3 Zheng（2012）关于多元F-矩阵的CLT结果，是否可在适当比例调整下推广至集中F-矩阵？
• RQ4 集中样本协方差矩阵与简化样本协方差矩阵在LSS CLT中的渐近偏差有何不同？
• RQ5 与Pan（2012）引入额外偏差校正项的方法相比，集中矩阵的LSS CLT证明框架是否更简单、更透明？

主要发现

• 当使用集中样本协方差矩阵时，大维F-矩阵的线性谱统计的中心极限定理依然成立，前提是将比值 $ y_n = p/n $ 替换为 $ p/(n-1) $。
• 集中样本协方差矩阵的LSS的渐近均值与方差表达式，在调整后的比值 $ p/(n-1) $ 下，与简化矩阵的结果一致，无需额外偏差校正。
• 对于多元F-矩阵，当比值 $ y_{n1} = p/n_1 $ 与 $ y_{n2} = p/n_2 $ 分别替换为 $ p/(n_1-1) $ 与 $ p/(n_2-1) $ 时，Zheng（2012）的CLT结果对集中F-矩阵依然成立。
• 集中与简化样本协方差矩阵的经验谱分布（ESD）之间的差异为 $ O(n^{-1}) $，在适当尺度下不影响极限谱分布或CLT。
• 所提出的框架通过消除额外偏差校正项的需求，简化了Pan（2012）的结果，实现了更清晰且等价的表述。
• 在 $ bC^+ $ 上建立了再生核迹的 $ L_2 $ 一致收敛性，从而实现了对集中矩阵下LSS渐近矩的严格推导。