[论文解读] A note on coherence power of N-dimensional unitary operators

M. García-Díaz, D. Egloff+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2015

Quantum Information and Cryptography被引用 7

一句话总结

本文研究了在量子相干性资源理论中，N维幺正算符的相干性功率，重点关注 $l_1$-范数相干性度量。研究证明，对于 qubit（$N=2$），最大相干性增益出现在纯不相干态上，但当 $N>2$ 时，最大增益出现在相干输入态上，表明在高维情况下仅对不相干态进行优化是不够的。

ABSTRACT

The coherence power of a quantum channel, that is, its ability to increase the coherence of input states, is a fundamental concept within the framework of the resource theory of coherence. In this note we discuss various possible definitions of coherence power. Then we prove that the coherence power of a unitary operator acting on a qubit, computed with respect to the $l_1$-coherence measure, can be calculated by maximizing its coherence gain over pure incoherent states. We proceed to show that this result fails for dimensions N>2, that is, the maximal coherence gain is found when acting on a state with non-vanishing coherence.

研究动机与目标

• 阐明并计算量子操作（特别是幺正算符）的相干性功率的定义与方法。
• 研究在不相干态上最大化相干性增益是否能获得相干性功率的全局最大值。
• 确定 qubit 情况下（最大增益出现在不相干态上）的结果是否可推广至高维系统。
• 确定相干输入态相较于不相干态能否产生更大相干性增益的条件。
• 为修订相干性功率的标准定义提供基础，使其在优化中包含所有量子态。

提出的方法

• 将相干性功率 $P(U)$ 定义为所有输入态中 $l_1$-范数相干性增加的最大值：$P(U) = \max_{\rho} \left[ C_{l_1}(U\rho U^\dagger) - C_{l_1}(\rho) \right]$。
• 证明对于 qubit 幺正算符，当输入态为纯且不相干（在计算基下对角）时，可实现最大相干性增益。
• 利用凸性与对称性论证简化 qubit 情况下的优化，将其简化为仅考虑纯不相干态。
• 构造 $N=3$ 幺正旋转（如 $R_x(\pi/4)$、$R_x(\pi/8)$）的显式反例，表明相干态上的相干性增益高于不相干态。
• 通过比较 $l_1$-范数与相对熵相干性度量的结果，验证研究发现。
• 通过特定叠加态的数值计算，证明对于 $N>2$，相干性功率的最优输入态通常为相干态而非不相干态。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅通过对不相干态最大化相干性增益来计算幺正算符的相干性功率？
• RQ2 qubit 情况下（$N=2$）最大相干性增益出现在不相干态上的结论是否可推广至高维系统？
• RQ3 初始相干性在输入态中对单位操作下最大化相干性增益的作用是什么？
• RQ4 在高维中是否存在结构原因，使得相干输入态更有利于实现最大相干性功率？
• RQ5 对于 $N>2$，相干性功率的优化能否限制在更小的态集合中，还是必须使用完整的态空间？

主要发现

• 对于 qubit 幺正算符，通过 $l_1$-范数度量计算的相干性功率，是在输入态为纯且不相干时实现的。
• 对于 $N=3$，旋转 $R_x(\pi/4)$ 的相干性功率超过在不相干态上的最大增益，在相干叠加态上达到 1.1471。
• 对于三维旋转 $R_x(\pi/8)$，在相干态 $|\phi\rangle = q_2|2\rangle + q_3|3\rangle$ 上的相干性增益达到 0.47648，超过不相干态的最大值 0.41650。
• 对于 $N>2$ 的维度，单位幺正算符的相对熵相干性功率无法通过仅限制在不相干态上计算，显式反例已证明这一点。
• 对于 $N>2$ 的幺正算符，最大相干性增益通常不会出现在不相干态上，这否定了仅用不相干态即可完成优化的假设。
• 该结果与纠缠理论中的发现类似：纠缠态可产生更高的纠缠增益，暗示了量子资源理论中更普遍的原理。