[论文解读] A Note on Combinatorial Derivation

Joshua Erde|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2012

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文解决了Protasov关于无限群中组合导数的若干开放问题。证明了在任一无限大集合的有限划分中，至少有一个部分的组合导数本身也是大的，并确立了每个∇-稀疏集都是稀疏的。结果通过群的结构性论证和基数构造得出，关键在于确定覆盖群所需的有限集合大小的界限，这些界限由导数算子决定。

ABSTRACT

Given an infinite group $G$ and a subset $A$ of $G$ we let $Δ(A) = {g \in G : |gA \cap A| =\infty}$ (this is sometimes called the combinatorial derivation of $A$). A subset $A$ of $G$ is called large if there exists a finite subset $F$ of $G$ such that $FA=G$. We show that given a large set $X$, and a decomposition $X=A_1 \cup ... \cup A_n$, there must exist an $i$ such that $Δ(A_i)$ is large. This answers a question of Protasov. We also answer a number of related questions of Protasov.

研究动机与目标

• 解决Protasov关于无限群中组合导数Δ(A)的开放问题。
• 确定大集合是否必然为Δ-大集，以及大集合的有限划分是否必须包含一个Δ-大集部分。
• 研究∇-稀疏集与稀疏性之间的关系，并澄清在平移下具有无限交集性质的集合的结构。
• 建立有限集合F的大小界限，使得在有限划分中FΔ(A_i) = G，解决不同群类型间的统一性问题。

提出的方法

• 使用余有限平移的概念：若FA是余有限的，则FΔ(A) = G，这意味着Δ-大性。
• 应用最大有限集合F，使得|f_iA ∩ f_jA| < ∞，以证明非几乎P-小集是Δ-大集。
• 构造无限子集Y ⊆ A，使得Δ(Y) = X，其中X为Δ(A)的任意可数子集，利用无限个相交平移的链。
• 在大群（如(Z_2)^κ）中使用基数论证，表明Δ(A)的不可数子集可能无法作为任何Y ⊆ A的Δ(Y)出现。
• 利用恒等式Δ(FA) = FΔ(A)F⁻¹，关联平移与导数集合。
• 证明非稀疏集对所有n满足Δ^n(A)为无限，表明其不可能是∇-稀疏集。

实验结果

研究问题

• RQ1 任一无限群中的大子集是否必为Δ-大集？
• RQ2 是否存在函数f: N → N，使得在群G的任意n-划分中，存在某部分A_i满足G = FΔ(A_i)，其中|F| ≤ f(n)？
• RQ3 对于对称划分G = A₁ ∪ … ∪ A_n且e ∈ A_i，是否某个A_i包含无限集X满足Δ(X) ⊆ A_i？
• RQ4 每个∇-稀疏集是否必然为稀疏集？
• RQ5 导数算子Δ是否能生成不可数集作为Δ(Y)，其中Y ⊆ A？

主要发现

• 在任一无限群的大集合的有限划分中，总存在某部分A_i使得Δ(A_i)为大集，正面回答了问题A。
• 对于任意有限划分的集合X，若FX为余有限，则存在i及有限集F'满足|F'| ≤ |F|(|F|+1)^{2^{n-1}-1}，使得F'Δ(A_i) = G，为问题B提供了统一界限。
• 对于任意可数对称集X ⊆ Δ(A)且e ∈ X，存在Y ⊆ A使得Δ(Y) = X，正面解决了问题C。
• 每个∇-稀疏集都是稀疏的，为问题D提供了肯定回答。
• 存在不可数子集X ⊆ Δ(A)，使得不存在Y ⊆ A满足Δ(Y) = X，表明定理2中可数性条件的必要性。
• 群(Z, +)存在一个2-稀疏集但不是∇-稀疏集，表明稀疏⇒∇-稀疏的逆命题不成立。