[论文解读] A note on compressed sensing of structured sparse wavelet coefficients from subsampled Fourier measurements

Ben Adcock, Anders C. Hansen+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2014

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 1被引用 7

一句话总结

本文提出了一种理论证明，表明通过使用子采样的傅里叶测量，可以高效恢复具有结构化稀疏性的哈尔小波系数信号。它表明，通过利用小波尺度间的分层稀疏性，并采用傅里叶系数的多级随机子采样，能够在样本复杂度与结构化稀疏性成正比的情况下，实现稳定且鲁棒的压缩感知恢复，显著优于标准压缩感知的界。

ABSTRACT

This note complements the paper "The quest for optimal sampling: Computationally efficient, structure-exploiting measurements for compressed sensing" [2]. Its purpose is to present a proof of a result stated therein concerning the recovery via compressed sensing of a signal that has structured sparsity in a Haar wavelet basis when sampled using a multilevel-subsampled discrete Fourier transform. In doing so, it provides a simple exposition of the proof in the case of Haar wavelets and discrete Fourier samples of more general result recently provided in the paper "Breaking the coherence barrier: A new theory for compressed sensing" [1].

研究动机与目标

• 为在哈尔小波基下具有结构化稀疏性的信号的压缩感知恢复建立理论基础。
• 分析多级子采样傅里叶测量在重建此类信号时的性能。
• 证明通过利用小波尺度间的分层稀疏性，可在更少测量下实现稳定且鲁棒的信号恢复。
• 证明所提出的测量方案在样本复杂度和重建精度方面优于标准子高斯随机测量。
• 为更广泛理论中的一个关键结果提供简化且易于理解的证明，聚焦于哈尔小波和离散傅里叶采样。

提出的方法

• 在离散傅里叶变换上采用多级子采样策略，将频率带划分为对应于小波尺度的二进制层级。
• 通过 $(\mathbf{k},\mathbf{M})$-稀疏性在层级中定义结构化稀疏性，其中每个小波系数层级 $c^{(j)}$ 最多有 $k_j$ 个非零条目。
• 通过基追踪的凸优化方法，对小波系数进行 $\ell_1$ 最小化，同时满足噪声测量约束 $\|y - Az\|_2 \leq \eta$。
• 将测量算子分解为层级分量 $U_{jl}$，通过傅里叶分析和三角多项式界分析其谱范数。
• 利用概率论和浓度不等式推导限制等距常数的界，且在随机子采样下以高概率成立。
• 证明每级所需的测量数按 $m_j \gtrsim \left(k_j + \sum_{l \neq j} 2^{-|j-l|/2}k_l\right)\log(\epsilon^{-1})\log(n)$ 缩放，反映出跨尺度的结构化稀疏性。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过利用小波系数中的结构化稀疏性，特别是哈尔基下的情况，能否改进压缩感知恢复？
• RQ2 稳定恢复具有哈尔小波中结构化稀疏性的信号，所需的最少傅里叶测量数是多少？
• RQ3 与标准随机采样相比，傅里叶变换的多级子采样在重建误差和样本复杂度方面表现如何？
• RQ4 小波系数的分层结构——即在更细尺度上具有更多稀疏性——在实现高效恢复中起什么作用？
• RQ5 在先前工作的通用框架下，能否为哈尔小波情况下的恢复保证提供一个理论证明？

主要发现

• 每级 $j$ 所需的测量数按 $m_j \gtrsim \left(k_j + \sum_{l \neq j} 2^{-|j-l|/2}k_l\right)\log(\epsilon^{-1})\log(n)$ 缩放，反映出跨尺度结构化稀疏性的影响。
• 以超过 $1 - k\epsilon$ 的高概率，重建误差满足 $\|x - \hat{x}\|_2 \leq C\left(\eta\sqrt{D}(1 + E\sqrt{k}) + \sigma_{\mathbf{k},\mathbf{M}}(\Phi^*x)_1\right)$，其中 $\sigma_{\mathbf{k},\mathbf{M}}$ 衡量最佳 $(\mathbf{k},\mathbf{M})$-项逼近误差。
• 层级测量分量 $U_{jl}$ 的谱范数有界：$\|U_{jl}\|_2 \lesssim 2^{-|j-l|/2}$，捕捉了跨尺度相干性的衰减。
• 该证明表明，所提出的测量方案在样本复杂度上尊重分层稀疏性结构，实现了稳定恢复，优于标准压缩感知的界。
• 分析证实，当信号在哈尔小波中具有结构化稀疏性时，傅里叶测量的多级子采样是实现最优恢复的必要且充分条件。
• 该结果为压缩感知在磁共振成像（MRI）和计算机断层扫描（CT）等应用中经验成功的合理性提供了严格依据，因为在这些应用中傅里叶测量与小波稀疏性自然共现。