[论文解读] A Note on Connected Dominating Set in Graphs Without Long Paths And Cycles

Eglantine Camby, Oliver Schaudt|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用 3

一句话总结

本论文研究了当 k ≥ 6 时，(Pk, Ck)-自由图中连通支配数（γc）与支配数（γ）之间的比值。研究建立了紧致的上界：对于 (P6, C6)-自由图，有 γc ≤ γ + 1；对于 (P8, C8)-自由图，有 γc ≤ 2γ；并表明在 (P9, C9)-自由图中，一般上界 γc/γ < 3 在渐近意义下是紧致的，且存在构造使得该比值可达到任意大的 γ。

ABSTRACT

The ratio of the connected domination number, $γ_c$, and the domination number, $γ$, is strictly bounded from above by 3. It was shown by Zverovich that for every connected $(P_5,C_5)$-free graph, $γ_c = γ$. In this paper, we investigate the interdependence of $γ$ and $γ_c$ in the class of $(P_k,C_k)$-free graphs, for $k \ge 6$. We prove that for every connected $(P_6,C_6)$-free graph, $γ_c \le γ+ 1$ holds, and there is a family of $(P_6,C_6)$-free graphs with arbitrarily large values of $γ$ attaining this bound. Moreover, for every connected $(P_8,C_8)$-free graph, $γ_c / γ\le 2$, and there is a family of $(P_7,C_7)$-free graphs with arbitrarily large values of $γ$ attaining this bound. In the class of $(P_9,C_9)$-free graphs, the general bound $γ_c / γ\le 3$ is asymptotically sharp.

研究动机与目标

• 确定当 k ≥ 6 时，在 (Pk, Ck)-自由图中比值 γc/γ 的紧致上界。
• 研究一般上界 γc ≤ 3γ 是否在特定图类中渐近紧致。
• 构造 (Pk, Ck)-自由图的无限族，使得其支配数 γ 可任意大，且达到所推导的上界。
• 探索是否存在一个最大的遗传图类，使得在该类中 γc ≤ 2γ 恒成立。
• 提供构造性证明，以支持在这些图类中将支配集转化为连通支配集的多项式时间算法。

提出的方法

• 利用 (Pk, Ck)-自由图中最小连通支配集的结构特性，特别是其 Pk−2-自由性。
• 应用关于 P6-自由图中连通支配集的已知结果，包括支配集诱导子图中存在生成完全二分图子图或 C6。
• 采用构造性方法：给定一个最小支配集 D，通过根据禁止子图约束，每连通分量最多添加 O(1) 个顶点，构建连通支配集。
• 基于支配集诱导子图的结构进行案例分析（例如，其是否包含 C6 或完全二分子图）。
• 引入显式图构造（如 Hk 和 Gk），通过实现 γc/γ = 2 和 lim γc/γ = 3 来证明上界的紧致性。
• 使用归纳法与邻域分析，确保构造集合的连通性与支配性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在连通的 (P6, C6)-自由图中，比值 γc/γ 的最紧可能上界是什么？
• RQ2 在 (P8, C8)-自由图中，γc ≤ 2γ 的界是否可实现？该界在 (P7, C7)-自由图中是否紧致？
• RQ3 在 (P9, C9)-自由图类中，一般上界 γc/γ < 3 是否渐近紧致？
• RQ4 在所有关于诱导子图封闭的最大遗传图类中，γc ≤ 2γ 恒成立的类是什么？
• RQ5 所获得的结构结果是否可用于设计高效算法，从这些类中的支配集计算连通支配集？

主要发现

• 对每个连通的 (P6, C6)-自由图，连通支配数满足 γc ≤ γ + 1，且该界对无穷多个 γ 可任意大图是紧致的。
• 对每个连通的 (P8, C8)-自由图，比值 γc/γ 最多为 2，且该界在 (P7, C7)-自由图中是紧致的，由一个无限图族证明。
• 在 (P9, C9)-自由图类中，一般上界 γc/γ < 3 是渐近紧致的，存在图族 Gk 满足 lim_{k→∞} γc(Gk)/γ(Gk) = 3。
• Hk 的构造产生了一个 (P7, C7)-自由图的无限族，满足 γc(Hk)/γ(Hk) = 2，证明了 2γ 界的紧致性。
• 通过在 Hk 的每个端点顶点上添加一个悬挂点构造 Gk，得到 (P9, C9)-自由图，满足 γ(Gk) = k+1 且 γc(Gk) = 3k，确认了渐近比值为 3。
• 所有证明均为构造性，且暗示了在对应图类中将最小支配集转化为连通支配集的多项式时间算法。