[论文解读] A Note on convergence of double sequences in a topological space

Amar Kumar Banerjee, Rahul Mondal|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2016

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文研究了拓扑空间中双序列的收敛性，引入了基于理想的一般化收敛的 $d$-极限空间框架。研究证明，在温和的理想条件下，$I$-序列紧致空间（即每个双序列都有一个 $I$-聚点）蕴含可数紧致性，并进一步证明：对于强可容许理想，第一可数且可数紧致的空间是 $I$-序列紧致的。

ABSTRACT

In this paper we have shown that a double sequence in a topological space satisfies certain conditions which in turn are capable to generate a topology on a non empty set. Also we have used the idea of I-convergence of double sequences to study the idea of I-sequentially compactness [3] in the sense of double sequences.

研究动机与目标

• 将极限空间的概念从单序列推广至双序列，基于拓扑收敛。
• 在拓扑空间中定义并分析双序列的 $I$-收敛性与 $I$-聚点。
• 建立 $I$-序列紧致性蕴含可数紧致性的条件。
• 证明：当理想为强可容许时，第一可数且可数紧致的空间是 $I$-序列紧致的。
• 将已知的 $I$-收敛性与序列紧致性结果推广至双序列情形。

提出的方法

• 基于双序列的三个修改后的收敛公理，引入了类似于单序列 $L(1)$–$L(3)$ 的 $d$-极限空间结构。
• 利用 $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ 上的非平凡理想 $I$ 定义双序列的 $I$-收敛性：若对 $x_0$ 的每个邻域 $U$，都有 $\{(i,j) : x_{ij} \notin U\} \in I$，则 $x_{ij} \to x_0$。
• 引入 $I$-聚点的概念：若对 $y$ 的每个邻域 $U$，都有 $\{(i,j) : x_{ij} \in U\} \notin I$，则 $y$ 是一个 $I$-聚点。
• 利用强可容许理想（包含所有 $H \times \mathbb{N}$ 和 $\mathbb{N} \times \{i\}$ 的集合）确保 $P$-收敛性蕴含 $I$-收敛性。
• 应用有限交集性质与可数紧致性的闭集嵌套刻画，将 $I$-序列紧致性与可数紧致性联系起来。
• 采用对角型构造方法，构造一个类似子序列的双序列 $\{y_{ij}\}$，满足 $y_{ij} = a_i$，以证明其 $I$-收敛于极限点 $y$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 $d$-极限空间框架，将单序列的收敛拓扑概念推广至双序列？
• RQ2 在何种条件下，通过双序列实现的 $I$-序列紧致性蕴含可数紧致性？
• RQ3 当 $I$ 为强可容许理想时，第一可数性与可数紧致性是否共同蕴含双序列的 $I$-序列紧致性？
• RQ4 双序列的 $I$-收敛性与拓扑空间中的普林斯海姆收敛（Pringsheim convergence）有何关系？
• RQ5 强可容许理想在确保双序列的 $P$-收敛性蕴含 $I$-收敛性方面起什么作用？

主要发现

• 拓扑空间中的双序列满足 $L(1)$、$L(2)$ 和 $L(3)$ 收敛公理的修改版本，从而可构建 $d$-极限空间。
• 对于 $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ 的非平凡理想 $I$（若包含所有 $H \times \mathbb{N}$ 且 $H$ 有限），$I$-序列紧致性蕴含可数紧致性。
• 若 $I$ 为强可容许理想，则双序列的 $P$-收敛性蕴含 $I$-收敛性。
• 在第一可数且可数紧致的空间中，每个双序列都有一个 $I$-聚点，因此对于强可容许理想，该空间是 $I$-序列紧致的。
• 通过构造双序列 $\{y_{ij}\}$，满足 $y_{ij} = a_i$ 且 $a_i \in B_i(y) \cap T_i$，可确保其 $I$-收敛于 $y$，从而证明 $I$-序列紧致性。
• 所构造的 $\{y_{ij}\}$ 的值域包含于 $\{x_{ij}\}$ 的值域中，因此 $\{y_{ij}\}$ 的 $I$-聚点行为可推出 $\{x_{ij}\}$ 的 $I$-聚点行为。