[论文解读] A note on convergence to stationarity of random processes with immigration

Alexander Marynych|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 6被引用 5

一句话总结

该论文在 Skorokhod 空间 $ D(\mathbb{R}) $ 的 $ J_1 $-拓扑下，为一类具有移民的随机过程建立了弱收敛到平稳性的结果。当更新间隔时间 $ \xi_k $ 为非格点分布且具有有限均值，且过程 $ X_k $ 衰减足够快时，即使 $ X_k $ 与 $ \xi_k $ 之间存在任意依赖关系，也证明了当 $ t\to\infty $ 时 $ (Y(u+t))_{u\in\mathbb{R}} $ 的弱收敛性，扩展了以往要求独立性的结果。

ABSTRACT

Let $X_1, X_2,\ldots$ be random elements of the Skorokhod space $D(\mathbb{R})$ and $ξ_1, ξ_2, \ldots$ positive random variables such that the pairs $(X_1,ξ_1), (X_2,ξ_2),\ldots$ are independent and identically distributed. The random process $Y(t):=\sum_{k \geq 0}X_{k+1}(t-ξ_1-\ldots-ξ_k)1_{\{ξ_1+\ldots+ξ_k\leq t\}}$, $t\in\mathbb{R}$, is called random process with immigration at the epochs of a renewal process. Assuming that the distribution of $ξ_1$ is nonlattice and has finite mean while the process $X_1$ decays sufficiently fast, we prove weak convergence of $(Y(u+t))_{u\in\mathbb{R}}$ as $t o\infty$ on $D(\mathbb{R})$ endowed with the $J_1$-topology. The present paper continues the line of research initiated in Iksanov, Marynych and Meiners (2015+).

研究动机与目标

• 在 Skorokhod 空间 $ D(\mathbb{R}) $ 中建立一类具有移民的随机过程弱收敛到平稳性的结果。
• 放松对移民时间 $ \xi_k $ 与单个过程分量 $ X_k $ 之间独立性的假设，允许任意依赖关系。
• 将更新点噪声过程的功能极限定理从独立情形推广至更一般情况。
• 为具有移民过程在 $ D(\mathbb{R}) $ 中的弱收敛性提供一个一般性框架，其拓扑为 $ J_1 $-拓扑。

提出的方法

• 在 Skorokhod 空间 $ D(\mathbb{R}) $ 上使用 $ J_1 $-拓扑，该拓扑允许具有跳跃的路径收敛。
• 应用关键更新定理分析具有 i.i.d. 更新间隔时间 $ \xi_k $ 的嵌入更新过程的渐近行为。
• 通过平稳更新过程与嵌入更新过程之间的耦合论证，推导出分布收敛性。
• 利用 $ (X, \xi) $ 的联合分布以及某些函数的 dRi（双重右连续可积）性质，确保可积性。
• 应用更新定理计算对更新时刻求和的极限，将问题约化为涉及 $ \hat{X} $ 和 $ \hat{\xi} $ 的期望。
• 通过恒等式 $ \mathbb{E}[\phi(\xi)] = \frac{1}{\mu}\mathbb{E}[\xi \phi(\xi)] $，利用 $ \xi $ 的大小偏移分布刻画嵌入过程的平稳分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有移民的随机过程在 $ D(\mathbb{R}) $ 中弱收敛到平稳过程？
• RQ2 弱收敛结果能否推广到移民过程 $ \xi_k $ 与单个路径过程 $ X_k $ 存在依赖关系的情形？
• RQ3 当 $ t\to\infty $ 时，过程 $ Y(t) $ 的极限平稳分布是什么？其如何被刻画？
• RQ4 $ D(\mathbb{R}) $ 上的 $ J_1 $-拓扑如何影响具有跳跃和移民过程的收敛性分析？

主要发现

• 在给定的矩条件和衰减条件下，过程 $ (Y(u+t))_{u\in\mathbb{R}} $ 沿着 $ D(\mathbb{R}) $ 的 $ J_1 $-拓扑在 $ t\to\infty $ 时弱收敛。
• 极限平稳分布由 $ \xi $ 的大小偏移分布刻画，其密度与 $ t \cdot \mathbb{P}(\xi \in dt) $ 成正比。
• 即使 $ X_k $ 与 $ \xi_k $ 之间存在任意依赖关系，该收敛性依然成立，从而去除了早期研究中所需的独立性假设。
• 嵌入过程的极限分布由下式给出：$ \mathbb{P}(-S_{-1}^* \leq y, S_0^* < z, X_0 \in A_0) = \frac{1}{\mu} \mathbb{E}[(z \wedge \hat{\xi} - (\hat{\xi} - y)_+)_+ \mathbf{1}_{\{\hat{X} \in A_0\}}] $。
• 证明依赖于关键更新定理以及函数 $ \hat{p}(u) $ 的 dRi 性质，该性质确保了可积性，并使得更新定理得以应用。