[论文解读] A note on correlations in randomly oriented graphs

Svante Linusson|ArXiv.org|May 18, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 8被引用 14

一句话总结

本文建立了随机定向图中的相关不等式，表明即使在条件为 $ s $ 无法到达另一顶点 $ t $ 的情况下，从源点 $ s $ 到两个目标点 $ a $ 和 $ b $ 的有向路径存在性仍呈正相关。通过 McDiarmid 引理将随机定向与边渗流联系起来，证明了 Harris 不等式的定向版本，并推导出新颖的相关性结果，包括在相同条件下 $ a\to t $ 与 $ s\to b $ 呈负相关。

ABSTRACT

Given a graph $G$, we consider the model where $G$ is given a random orientation by giving each edge a random direction. It is proven that for $a,b,s\in V(G)$, the events $\{s o a\}$ and $\{s o b\}$ are positively correlated. This correlation persists, perhaps unexpectedly, also if we first condition on $\{s to t\}$ for any vertex $t eq s$. With this conditioning it is also true that $\{s o b\}$ and $\{a o t\}$ are negatively correlated. A concept of increasing events in random orientations is defined and a general inequality corresponding to Harris inequality is given. The results are obtained by combining a very useful lemma by Colin McDiarmid which relates random orientations with edge percolation, with results by van den Berg, Häggström, Kahn on correlation inequalities for edge percolation. The results are true also for another model of randomly directed graphs.

研究动机与目标

• 研究随机定向图中定向路径的相关性结构。
• 通过概率对偶性，将边渗流中的相关不等式推广到随机定向模型。
• 证明即使在条件 $ s\not\to t $ 下，$\{s\to a\}$ 与 $\{s\to b\}$ 仍保持正相关。
• 在条件 $ s\not\to t $ 下，分析入簇与出簇之间的关系，特别是 $ a\to t $ 与 $ s\to b $ 的负相关性。
• 为随机定向模型中的递增事件提供类似于渗流中 Harris 不等式的框架。

提出的方法

• 利用 McDiarmid 引理，将随机定向中出簇的分布等价于边渗流在 $ p=1/2 $ 时的簇分布。
• 通过分布等价性，将边渗流模型 ($ E^p $) 中已知的相关不等式转移至随机定向模型 ($ O $)。
• 定义 $ s $-出簇递增事件，并为随机定向模型推导广义的 Harris 型不等式。
• 利用引理 2.2，将模型 $ O $ 中入簇与出簇的联合分布关系，与 $ E^p $ 中的对应关系在不相交条件下建立联系。
• 应用 van den Berg、Häggström 与 Kahn (2001) 在渗流中关于相关不等式的研究成果，推导出定向模型中的新不等式。
• 采用条件概率不等式，分析在 $ s\not\to t $ 等约束下的路径存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在随机定向图中，事件 $\{s\to a\}$ 与 $\{s\to b\}$ 是否呈正相关？
• RQ2 当条件为 $ s\not\to t $（$ t\neq s $）时，$\{s\to a\}$ 与 $\{s\to b\}$ 之间的正相关性是否仍然成立？
• RQ3 在条件 $ s\not\to t $ 下，$\{a\to t\} $ 与 $ \{s\to b\} $ 之间的相关性如何？
• RQ4 渗流中的 Harris 不等式能否被适配到随机定向模型中？
• RQ5 在随机定向中，入簇与出簇事件之间存在何种关系，特别是在条件作用下？

主要发现

• 在随机定向模型 $ O $ 中，事件 $\{s\to a\}$ 与 $\{s\to b\}$ 呈正相关，满足 $ P_O(s\to a)P_O(s\to b) \leq P_O(s\to a, s\to b) $。
• 即使在条件 $ s\not\to t $ 下，该正相关性依然成立，即 $ P_O(s\to a|s\not\to t)P_O(s\to b|s\not\to t) \leq P_O(s\to a, s\to b|s\not\to t) $。
• 在条件 $ s\not\to t $ 下，事件 $\{a\to t\} $ 与 $ \{s\to b\} $ 呈负相关：$ P_O(a\to t, s\to b|s\not\to t) \leq P_O(a\to t|s\not\to t)P_O(s\to b|s\not\to t) $。
• 在模型 $ O $ 中，$\overset{\leftarrow}{C}_t$ 与 $\overset{\rightarrow}{C}_s$ 的联合分布与边渗流 $ E^p $ 中 $ C_t $ 与 $ C_s $ 的联合分布一致，当簇不相交时成立。
• 为随机定向模型中的递增事件建立了一般性不等式，其形式类似于渗流中的 Harris 不等式。
• 模型 $ O $ 在分布上等价于 $ D^{1/2} $ 的出簇分布，从而实现了模型间结果的转移。