[论文解读] A note on degenerate multi-poly-Genocchi polynomials

Taekyun Kim, Dae San Kim+2 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2020

Advanced Mathematical Identities参考文献 4被引用 7

一句话总结

本文引入了退化多重多指数函数作为退化修正多指数函数的多变量推广，并通过这些函数定义了退化多重多-Genocchi多项式。推导出了显式公式和结构恒等式，包括涉及退化Euler多项式与退化第一类Stirling数的多变量卷积型表达式，为退化特殊多项式奠定了基础框架，其在数论和数学物理中有应用。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the degenerate multiple polyexponential functions which are multiple versions of the degenerate modified polyexponential functions. Then we consider the degenerate multi-poly-Genocchi polynomials which are defined by using those functions and investigate explicit expressions and some properties for those polynomials.

研究动机与目标

• 通过引入退化多重多指数函数作为退化修正多指数函数的多变量推广，扩展退化特殊多项式的理论。
• 利用这些新的生成函数定义并研究退化多重多-Genocchi多项式。
• 使用组合工具如退化Stirling数与退化Euler多项式，推导这些多项式的显式闭式表达。
• 建立结构恒等式与卷积型公式，推广已知的退化Genocchi与多-Genocchi多项式的结果。

提出的方法

• 将退化多重多指数函数定义为在严格递增多指标上的求和，包含退化Pochhammer符号与倒数权重。
• 通过退化多重多指数函数与退化对数和指数函数的复合，构造退化多重多-Genocchi多项式的生成函数。
• 应用生成函数技巧与涉及退化对数及其逆的级数展开，将生成函数分解为乘积形式。
• 利用退化第一类Stirling数将退化对数的幂展开为单项式形式。
• 通过系数比较，将所得生成函数表示为退化Euler多项式与退化Stirling数的卷积。
• 通过匹配幂级数展开中的系数，推导出包含二项式系数与带符号项的多变量显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在退化设定下，如何将多指数函数的概念推广到多重指标，以形成多变量退化多指数函数？
• RQ2 通过这些新生成函数定义的退化多重多-Genocchi多项式的显式代数结构是什么？
• RQ3 退化多重多-Genocchi多项式与已知的退化特殊多项式（如退化Euler与Genocchi多项式）有何关系？
• RQ4 能否为退化多重多-Genocchi多项式建立一个涉及退化Euler多项式与第一类退化Stirling数的卷积型恒等式？

主要发现

• 退化多重多-Genocchi多项式由一个三重求和显式给出，涉及二项式系数、退化Euler多项式、第一类退化Stirling数以及退化Pochhammer符号的加权乘积。
• 退化多重多-Genocchi多项式的生成函数表示为退化指数函数的有理函数与经退化对数复合的多变量退化多指数函数的乘积。
• 建立了卷积恒等式：$ g_{n,\theta}^{(k_1,\text{...},k_r)}(x+y) = \sum_{l=0}^n \binom{n}{l} g_{l,\theta}^{(k_1,\text{...},k_r)}(x) (y)_{n-l,\theta} $，推广了经典Genocchi多项式的加法性质。
• 退化多重多-Genocchi多项式 $ g_{n,\theta}^{(k_1,\text{...},k_r)}(r) $ 的显式公式被推导为对 $ m, l, n_1, \dots, n_r $ 的求和，其项包含 $ \binom{r}{l} $、$ (-1)^l $、$ 2^{r-l} $、$ \mathcal{E}_{m,\theta}^{(l)} $、$ S_{1,\theta}(n-m,n_r) $ 以及有理权重。
• 该构造通过将阶数从单重扩展到多重指标，推广了先前关于退化多-Bernoulli与退化Genocchi多项式的研究结果。
• 该框架提供了一套系统化方法，利用多变量多polylogarithmic结构与退化微积分工具，生成新的退化特殊多项式族。