[论文解读] A note on degenerate stirling polynomials of the second kind

Taekyun Kim|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2017

Advanced Mathematical Identities参考文献 3被引用 99

一句话总结

该论文通过生成函数定义退化的第二类斯特林多项式，与退化数和Whitney数的关系推导出若干恒等式，并给出递推公式及与经典多项式的联系。

ABSTRACT

In this paper, we consider the degenerate Stirling polynomials of the second kind which are derived from the generating function. In addition, we give some new identities for these polynomials.

研究动机与目标

• 通过生成函数激发对退化的第二类斯特林多项式的研究。
• 定义退化的第二类斯特林多项式及相关的带 x 参数的版本。
• 推导将这些多项式与退化斯特林、Whitney 与 Euler/Carlitz 多项式联系起来的新恒等式和递推关系。

提出的方法

• 通过生成函数（2.4）和（2.1）引入退化及带 x 参数的斯特林多项式。
• 将显式表达式如 S_{2,λ}(n,k|x) 表示为以 S_{2}(l,k) 和二项式型和的形式。
• 推导递推关系，如 S_{2,λ}(n+1,k|x) 以 S_{2,λ}(n,k|x) 与 S_{2,λ}(n,k-1|x) 为变量。
• 通过生成函数将退化多项式与 Whitney 数联系起来并给出封闭形式（定理 2.1–2.8）。
• 获得退化的 Euler/Carlitz 类型关系并显示当 λ → 0 时的极限行为，从而回到经典对应物。

实验结果

研究问题

• RQ1 退化的第二类斯特林多项式 S_{2,λ}(n,k|x) 是什么，它们如何生成？
• RQ2 这些退化多项式如何与经典的 S_{2}(n,k) 以及退化 Whitney 数 W_{m,r}(n,k|λ) 相关？
• RQ3 哪些恒等式和递推关系将 S_{2,λ}(n,k|x) 与 S_{1}(n,m)、S_{2}(n,k) 与 Whitney 数联系起来？
• RQ4 当 λ → 0 时，退化量的极限行为是什么，它们如何恢复已知的经典多项式？
• RQ5 高阶退化 Euler/Carlitz 多项式如何与退化的斯特林多项式相互作用？

主要发现

• 通过特定生成函数（2.4）定义退化的第二类斯特林多项式 S_{2,λ}(n,k|x)。
• 给出显式表达式 S_{2,λ}(n,k|x) = sum_{l=k}^{n} binom(n,l) S_{2}(l,k) x^{n-l}。
• 推导递推关系： S_{2,λ}(n+1,k|x) = (x+k) S_{2,λ}(n,k|x) + S_{2,λ}(n,k-1|x) - nλ S_{2,λ}(n,k|x)。
• 证明当 λ → 0 时回到经典的 S_{2}(n+1,k|x) 递推： S_{2}(n+1,k|x) = (x+k) S_{2}(n,k|x) + S_{2}(n,k-1|x)。
• 通过 S_{2,λ}(n,k|x) 表达退化 Euler/Carlitz 关系（定理 2.4），并与高阶 Whitney 数（定理 2.5–2.8）相联系。
• 给出将 Δ^k 的和与 S_{1}(n,m) 联系到 S_{2,λ}(n,k|x) 的恒等式（定理 2.2, 2.3, 2.7, 2.8）。