[论文解读] A note on dimensions of polynomial size circuits

Xiaoyang Gu|Apr 22, 2004

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 18被引用 3

一句话总结

本论文运用资源有界维数理论，对多项式规模电路进行精细化分析，表明 P/poly 的 0 阶缩放 p3-强维数为 0，而 P/polyi.o. 的 p3-维数为 1/2，p3-强维数为 1。通过新颖地应用缩放维数与测度守恒定理的论证，该研究在 Lutz 和 Hitchcock-Vinodchandran 的先前测度与维数结果基础上实现了改进。

ABSTRACT

In this paper, we use resource-bounded dimension theory to investigate polynomial size circuits. We show that for every $i\geq 0$, $\Ppoly$ has $i$th order scaled $\pthree$-strong dimension 0. We also show that $\Ppoly^\io$ has $\pthree$-dimension 1/2, $\pthree$-strong dimension 1. Our results improve previous measure results of Lutz (1992) and dimension results of Hitchcock and Vinodchandran (2004).

研究动机与目标

• 通过资源有界维数理论，精细化理解多项式规模电路。
• 通过 Lutz（1992）与 Hitchcock-Vinodchandran（2004）的先前结果，改进 P/poly 与 P/polyi.o. 的测度与维数结果。
• 建立 P/poly 及其“无穷多次”变体的缩放维数的更紧界。
• 证明 P/polyi.o. 的 p3-维数恰好为 1/2，其 p3-强维数恰好为 1。
• 证明对于所有 i ≥ 0，P/poly 的 i 阶缩放 p3-维数为 0，优于先前结果。

提出的方法

• 将资源有界维数与强维数理论应用于 E3 与 ESPACE 内的复杂度类分析。
• 利用 KT 复杂度与电路规模复杂度之间的等价性，推导出精确的维数界。
• 采用基于基超鞅 d 与排除长度为 2 的幂次的字符串的语言 L 的修改版超鞅构造（d′）。
• 应用测度守恒定理（Lutz, 1992）通过反证法推导维数的下界。
• 引入一种递归超鞅 d′，用于追踪长度非 2 的幂次的字符串上的行为，并在变换下保持成功集不变。
• 利用无限长度前缀的结构与语言类的交集封闭性，证明维数的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 P/polyi.o. 的精确 p3-维数是多少？
• RQ2 P/polyi.o. 的精确 p3-强维数是多少？
• RQ3 对于 i ≥ 0，P/poly 的 i 阶缩放 p3-维数如何表现？
• RQ4 能否通过资源有界维数理论证明 P/polyi.o. 的维数下界为 1/2？
• RQ5 P/poly 的 p3-维数对所有 i ≥ 0 是否严格为 0？

主要发现

• P/polyi.o. 的 p3-维数恰好为 1/2，优于 Hitchcock 与 Vinodchandran 的先前下界 0。
• P/polyi.o. 的 p3-强维数恰好为 1，显著优于先前结果中的 0。
• 对于所有 i ≥ 0，P/poly 的 i 阶缩放 p3-维数为 0，其 i 阶缩放 p3-强维数也为 0。
• P/poly 的 p3-维数为 0，其 p3-强维数为 1，确认该类在维数上较小但具有高度结构化。
• P/polyi.o. 的 p3-维数下界 1/2 是紧致的，由关于无穷多次类的一般定理确认。
• 结果对所有 c > 0 成立，表明 dimp3(SIZEi.o.(nc)) = 1/2 且 Dimp3(SIZE(nc)) = 0，可推广至完整的 P/poly 类。