[论文解读] A note on extended full waveform inversion

Tristan van Leeuwen|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2019

Seismic Imaging and Inversion Techniques参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文将扩展全波形反演（FWI）重新表述为一种带有介质相关残差加权矩阵 $Σ(\mathbf{m}) + \Sigma_m$ 的常规FWI，该矩阵由物理和测量不确定性推导而来。关键贡献在于表明这种重加权可降低非线性，并可通过在标准FWI工作流中仅增加每迭代一次的加权矩阵，实现高效实现。

ABSTRACT

Full waveform inversion (FWI) aims at estimating subsurface medium properties from measured seismic data. It is usually cast as a non-linear least-squares problem that incorporates uncertainties in the measurements. In exploration seismology, extended formulations of FWI that allow for uncertaties in the physics have been proposed. Even when the physics is modelled accurately, these extensions have been shown to be beneficial because they reduce the non-lineary of the resulting data-fitting problem. In this note, I derive an alternative (but equivalent) formulation of extended full waveform inversion. This re-formulation takes the form of a conventional FWI formulation that includes a medium-dependent weight on the residuals. I discuss the implications of this re-formulation and illustrate its properties with a simple numerical example.

研究动机与目标

• 提供扩展全波形反演（FWI）的另一种等价表述，保留其优势的同时简化实现。
• 证明扩展FWI的表述可重述为带有参数相关残差加权矩阵的常规FWI。
• 表明这种重加权可降低数据拟合问题的非线性，改善收敛特性。
• 通过仅对现有FWI软件栈进行最小修改，实现实际应用。
• 通过边际后验协方差将扩展FWI框架与贝叶斯不确定性量化联系起来。

提出的方法

• 通过消除波场变量 $\mathbf{u}$，推导出扩展FWI的等价简化形式，得到一个带有介质相关加权矩阵 $\Sigma(\mathbf{m}) + \Sigma_m$ 的目标函数。
• 将残差加权矩阵表示为 $\Sigma(\mathbf{m}) = P(A^*(\mathbf{m})\Sigma_p^{-1}A(\mathbf{m}))^{-1}P^*$，表示接收点格林函数的相关性。
• 推导出与常规FWI相似的梯度表达式，每迭代仅需额外一次正向模拟。
• 提出 $\Sigma(\mathbf{m})$ 的实用近似方法，包括随机矩阵探测、基于数据的协方差估计，以及简单模型的解析形式。
• 利用速度变化的1D简单声学问题，通过数值方法展示新目标函数中非线性的降低。
• 在时域和频域中均证明扩展FWI与残差加权FWI表述的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 扩展FWI能否被重新表述为带有介质相关残差加权矩阵的常规FWI？
• RQ2 包含 $\Sigma(\mathbf{m})$ 如何影响FWI目标函数的非线性？
• RQ3 在标准FWI工作流中实现新残差加权方案的计算成本和实际可行性如何？
• RQ4 能否在不进行完整矩阵求逆的情况下高效近似 $\Sigma(\mathbf{m})$？
• RQ5 新表述与FWI中贝叶斯不确定性量化之间有何关联？

主要发现

• 扩展FWI的表述在数学上等价于带有参数相关残差加权矩阵 $\Sigma(\mathbf{m}) + \Sigma_m$ 的常规FWI，该矩阵同时考虑了过程和测量不确定性。
• 新表述通过数值模拟示例表明，其数据拟合问题的非线性降低，表现为更平滑的目标函数等高线。
• 新目标函数的梯度仅需额外一次正向模拟即可计算，因此在实现上计算效率高。
• 残差加权矩阵 $\Sigma(\mathbf{m})$ 可解释为贝叶斯FWI框架中边际后验分布的协方差。
• 实践中可使用基于数据的协方差估计和随机探测等近似方法，高效计算 $\Sigma(\mathbf{m})$。
• 该重新表述揭示了扩展FWI与方程误差法之间的直接联系，尤其当采样算子 $P$ 可逆时。