[论文解读] A note on Grothendieck's (noncommutative) standard conjecture of type D

Gonçalo Tabuada|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文将格罗滕迪克的非交换型D类标准猜想从光滑射影概形推广至光滑恰当dg范畴，证明其在同调投影对偶下的不变性。作为结果，该猜想在二次曲面交、双线性除子交以及二次曲面纤维丛的情形下得到验证。

ABSTRACT

Grothendieck conjectured in the sixties that the homological equivalence relation on algebraic cycles coincides with the numerical equivalence relation. In this note we extend this celebrated conjecture from smooth projective schemes to the broad setting of smooth proper dg categories. As an application, we prove that Grothendieck's original conjecture is invariant under homological projective duality. This leads to a proof of Grothendieck's conjecture in the case of intersections of quadrics and intersections of bilinear divisors. Along the way, we prove also the case of quadric fibrations.

研究动机与目标

• 将格罗滕迪克的D类标准猜想从光滑射影概形推广至更广泛的光滑恰当dg范畴框架。
• 确立该猜想在代数几何中关键对偶理论——同调投影对偶下的不变性。
• 利用此不变性证明该猜想在新几何设定下的成立性，包括二次曲面交与双线性除子交。
• 将该猜想的有效性扩展至二次曲面纤维丛，提供其成立的新情形。

提出的方法

• 采用光滑恰当dg范畴的框架，作为光滑射影概形的非交换推广。
• 利用同调投影对偶关系，关联对偶概形的导出范畴，并将猜想在对偶对之间转移。
• 应用非交换动机与非交换查尔动机理论，分析cycle类与等价关系。
• 利用标准猜想在导出等价下的不变性及导出范畴的结构，验证该猜想在特定几何情形下的成立性。
• 借助关于二次曲面纤维丛与完全交的导出范畴的已知结果，在这些设定中确立猜想。
• 运用半正交分解与突变函子的工具，分析相关dg范畴的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 格罗滕迪克的非交换型D类标准猜想是否可从光滑射影概形推广至光滑恰当dg范畴？
• RQ2 在非交换设定下，标准猜想是否在同调投影对偶下保持不变？
• RQ3 能否利用此扩展框架证明二次曲面交情形下该猜想的成立性？
• RQ4 通过新的不变性结果，该猜想是否在双线性除子交情形下成立？
• RQ5 能否通过非交换推广，在二次曲面纤维丛情形下确立该猜想？

主要发现

• D类标准猜想从光滑射影概形推广至光滑恰当dg范畴，推广了格罗滕迪克原始猜想的范围。
• 该猜想在同调投影对偶下保持不变，意味着若其在原概形上成立，则在对偶概形上亦成立。
• 该猜想在二次曲面交情形下被证明为真，这是代数几何中的一个重要新情形。
• 该猜想在双线性除子交情形下得到验证，展示了扩展框架的强大能力。
• 该猜想在二次曲面纤维丛情形下得以确立，为同调等价与数值等价关系一致提供了新的例子类别。