[论文解读] A note on Harnack and Transportation inequalities For Stochastic Differential Equations with reflections

Brahim Boufoussi, Soufiane Mouchtabih|arXiv (Cornell University)|May 3, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文建立了反射型随机微分方程（RSDEs）和带局部时的随机微分方程（SDELs）的运输成本不等式与哈纳克不等式。通过伊t-戈尔萨诺变换与耦合方法，推导出关于一致范数与 $ L^2 $ 范数度量的 $ T_1(C) $ 与 $ T_2(C) $ 不等式，进而得到测度集中性与指数遍历性结果。一个关键成果是在系数满足较弱正则性条件下，相关半群满足对数哈纳克不等式。

ABSTRACT

We establish transportation cost inequalities, with respect to the uniform and $L_2$-metric, on the path space of continuous functions, for laws of solutions of stochastic differential equations with reflections. We also consider the case of stochastic differential equations involving local times. Harnack inequalities for the associated semigroups are also established.

研究动机与目标

• 推导反射型SDE解的律在一致范数与 $ L^2 $ 范数度量下的 $ T_1(C) $ 与 $ T_2(C) $ 运输不等式。
• 建立与反射型及局部时SDE相关半群的对数哈纳克不等式与哈纳克不等式。
• 利用Wasserstein距离估计分析带局部时SDE的小时间与大时间渐近行为。
• 在适当条件下，证明过渡核在Wasserstein距离下对不变测度的指数收敛性。
• 利用推导出的运输不等式，为解的加法泛函提供集中不等式。

提出的方法

• 利用伊特-戈尔萨诺变换，推导路径空间上反射型SDE律的运输成本不等式。
• 应用耦合技术，建立半群 $ P_t f(x) = \mathbb{E}[f(X^x(t))] $ 的对数哈纳克与哈纳克不等式。
• 通过测度变换将带局部时的SDE转化为普通SDE，并应用Wang（2011）关于哈纳克不等式的已知结果。
• 利用Wasserstein距离 $ W_p^d(\mu, \nu) $ 与相对熵 $ H(\nu/\mu) $ 定义并验证 $ T_p(C) $ 不等式。
• 应用Djellout等（2004）的结果，证明过渡核在 $ W_2 $ 距离下对不变测度的指数收敛性。
• 通过 $ T_1(C) $ 不等式推导集中不等式，如时间平均与过程上确界的霍夫丁型界。

实验结果

研究问题

• RQ1 反射型SDE的律是否在路径空间上的一致范数与 $ L^2 $ 范数度量下满足运输不等式？
• RQ2 在漂移与扩散系数满足弱正则性条件时，能否建立反射型SDE半群的对数哈纳克与哈纳克不等式？
• RQ3 带局部时SDE在Wasserstein $ W_2 $ 距离下对不变测度的收敛速率如何？
• RQ4 带局部时SDE的运输不等式如何导致加法泛函的测度集中性？
• RQ5 通过Wasserstein估计，带局部时SDE解的小时间与大时间渐近行为如何？

主要发现

• 反射型SDE解的律在一致范数与 $ L^2 $ 范数度量下满足 $ T_1(C) $ 与 $ T_2(C) $ 不等式，意味着测度集中性。
• 对路径空间上的任意Lipschitz泛函 $ F_V $，集中不等式 $ \mathbb{P}\big(\frac{1}{T}\int_0^T V(X(t)) dt - \mathbb{E}[V(X(t))] > r\big) \leq \exp\big(-\frac{r^2}{2C\alpha^2}\big) $ 成立。
• 对上确界泛函 $ F_\infty $，建立集中界 $ \mathbb{P}\big(\sup_{t\in[0,T]}|X(t)-x| - \mathbb{E}[\sup_{t\in[0,T]}|X(t)-x|] > r\big) \leq \exp\big(-\frac{r^2}{2C}\big) $。
• 在条件 $ H(7) $ 与 $ H(8) $ 下，半群满足哈纳克不等式：$(P_T f(y))^p \leq (P_T f^p(x)) \exp\big[\cdots\big]$，其中 $ p > (1 + \gamma/\lambda)^2 $，且显式依赖于 $ |x-y|^2 $。
• 过渡核与不变测度之间的Wasserstein距离呈指数衰减：$ W_2(P_t(x,\cdot), \mu) \leq \frac{M}{m} e^{-\delta t} \big(\int |x-y|^2 \mu(dy)\big)^{1/2} $。
• 对特定SDE，其中 $ \sigma(x) = I_{x<0} + \frac{1+\beta}{1-\beta}I_{x\geq0} $，$ b(x) = -\delta x \sigma(x) $，且 $ \nu = \beta \delta_0 $，变换后的过程为Ornstein-Uhlenbeck过程，所有结果均适用。