[论文解读] A note on Hurwitz schemes of covers of a positive genus curve

Tom Graber, Joe Harris+1 more|ArXiv.org|May 6, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用 34

一句话总结

本文证明了参数化光滑射影曲线 $B$ 上度 $d$ 的覆盖的 Hurwitz 算术族，其分支点为 $w \geq 2d$ 个简单分支点且单值群为 $S_d$，是连通的。通过在亏格上使用归纳法并结合 braid 群对单值表示的作用，作者建立了堆栈 $\mathcal{H}^{d,w}_{S_d}(B)$ 的不可约性，将经典结果从 $\mathbb{P}^1$ 推广到更高亏格的曲线。

ABSTRACT

We prove the irreducibility of the space parametrizing branched covers of a fixed Riemann surface $B$ of degree $d$, with at least 2d branch points, and with monodromy group equal to $S_d$. The result is classical for $g(B)=0$. The result is well-known for $g(B) > 0$, but we could find no reference.

研究动机与目标

• 建立参数化度 $d$ 覆盖的 Hurwitz 堆栈 $\mathcal{H}^{d,w}_{S_d}(B)$ 的不可约性，其中 $B$ 是亏格 $h \geq 1$ 的光滑射影曲线，且有 $w$ 个简单分支点。
• 将经典结果中关于 $\mathbb{P}^1$ 上 Hurwitz 算术族的不可约性推广到正亏格曲线。
• 通过单值表示上的几何与拓扑方法，证明当 $w \geq 2d$ 时，模堆栈 $\mathcal{H}^{d,w}_{S_d}(B)$ 是连通的。

提出的方法

• 使用一个精细模空间 $H^{d,w}_{S_d}(B,\Sigma,b_0)$，其参数化带有固定基点和纤维标记的覆盖，以研究单值性。
• 定义分支态射 $\text{br}: H^{d,w}_{S_d}(B,\Sigma,b_0) \to (B - \Sigma)^{w,\circ}$，以分析分支点的配置。
• 在曲线 $B$ 的亏格 $h$ 上使用归纳法，通过将 $B$ 分解为子曲面 $B_1$ 和 $B_2$，将问题约化为更低亏格的曲线。
• 利用 braid 群作用与分支支集中的路径提升，连接 $B_1$-平凡覆盖，表明任意两个此类覆盖之间的单值性可被形变。
• 将分支支集中的路径提升至模空间 $H^{d,w}_{S_d}(B,\Sigma,b_0)$ 中的路径，通过路径连通性证明其连通性。
• 利用从带标记模空间 $H^{d,w}_{S_d}(B,\Sigma,b_0)$ 到 $\mathcal{H}^{d,w}_{S_d}(B)$ 的遗忘映射是 étale 且具有稠密像的事实，推导出堆栈 $\mathcal{H}^{d,w}_{S_d}(B)$ 的连通性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $w \geq 2d$ 时，对于正亏格曲线 $B$，Hurwitz 堆栈 $\mathcal{H}^{d,w}_{S_d}(B)$ 是否连通？
• RQ2 经典结果中关于 $\mathbb{P}^1$ 上 Hurwitz 算术族的不可约性是否可推广至更高亏格曲线？
• RQ3 braid 群作用在单值表示上如何控制具有全对称单值群的覆盖模空间的连通性？
• RQ4 基曲线的亏格在具有全对称单值群的 Hurwitz 算术族结构中起什么作用？

主要发现

• 当 $w \geq 2d$ 时，Hurwitz 堆栈 $\mathcal{H}^{d,w}_{S_d}(B)$ 是连通的，从而证明其不可约性。
• 证明过程在 $B$ 的亏格 $h$ 上使用归纳法，基础情形 $h = 0$ 为经典已知结果。
• 每个 $H^{d,w}_{S_d}(B,\Sigma,b_0)$ 的连通分支都包含一个 $B_1$-平凡覆盖，即在子曲面 $B_1$ 上单值性平凡。
• braid 群作用允许将任意 $B_1$-平凡覆盖形变为任意其他此类覆盖，确保模空间中的路径连通性。
• 从带标记模空间 $H^{d,w}_{S_d}(B,\Sigma,b_0)$ 到 $\mathcal{H}^{d,w}_{S_d}(B)$ 的遗忘映射是 étale 且具有稠密像，因此前者的连通性蕴含后者的连通性。
• 堆栈 $\mathcal{H}^{d,w}_{S_d}(B)$ 是 $\mathbb{C}$ 上的光滑、有限型 Deligne-Mumford 堆栈，其连通性是本文的核心结果。