[论文解读] A note on identities in plactic monoids and monoids of upper-triangular tropical matrices

Alan J. Cain, Georg Klein+3 more|arXiv (Cornell University)|May 12, 2017

Polynomial and algebraic computation参考文献 11被引用 8

一句话总结

本文通过杨表组合数学证明，无限秩的plactic幺半群不满足任何非平凡恒等式，即在秩-n plactic幺半群中，长度不超过n的任何非平凡恒等式均不成立。本文引入了n×n上三角热带矩阵幺半群的一个新恒等式，并构建了秩-3 plactic幺半群到两个3×3上三角热带矩阵幺半群的直积的显式嵌入，从而为秩-3 plactic幺半群满足非平凡恒等式提供了新的证明。

ABSTRACT

This paper uses the combinatorics of Young tableaux to prove the plactic monoid of infinite rank does not satisfy a non-trivial identity, by showing that the plactic monoid of rank $n$ cannot satisfy a non-trivial identity of length less than or equal to $n$. A new identity is then proven to hold for the monoid of $n imes n$ upper-triangular tropical matrices. Finally, a straightforward embedding is exhibited of the plactic monoid of rank $3$ into the direct product of two copies of the monoid of $3 imes 3$ upper-triangular tropical matrices, giving a new proof that the plactic monoid of rank $3$ satisfies a non-trivial identity.

研究动机与目标

• 确定无限秩plactic幺半群是否满足任何非平凡恒等式。
• 研究有限秩plactic幺半群中恒等式的存在性，特别是当秩n ≥ 4时的情况。
• 构造n×n上三角热带矩阵幺半群所满足的新非平凡恒等式。
• 提供秩-3 plactic幺半群到两个3×3上三角热带矩阵幺半群直积的显式、初等嵌入。
• 利用该嵌入，提供秩-3 plactic幺半群满足非平凡恒等式的另一种证明。

提出的方法

• 使用杨表的组合数学与Schensted算法分析plactic幺半群的结构。
• 应用杨表的行读法与列读法表示，刻画秩-3 plactic幺半群的元素。
• 通过从杨表条目导出的矩阵表示，构建从秩-3 plactic幺半群到两个U₃(𝕋)副本直积的映射Ψ₃。
• 在ℝ ∪ {−∞}的半环上使用热带矩阵乘法，其中max作为加法，+作为乘法。
• 利用杨表与其P-符号之间的双射关系，确保嵌入Ψ₃的单射性。
• 通过证明矩阵像φ₃(u)与σ₃(u)能唯一确定杨表参数，从而区分所有元素，验证单射性。

实验结果

研究问题

• RQ1 无限秩plactic幺半群是否满足任何非平凡恒等式？
• RQ2 秩-n plactic幺半群是否可能满足长度≤n的非平凡恒等式？
• RQ3 n×n上三角热带矩阵幺半群中存在哪些新恒等式？
• RQ4 是否存在秩-3 plactic幺半群到热带矩阵幺半群直积的显式嵌入？
• RQ5 此类嵌入是否意味着秩-3 plactic幺半群满足非平凡恒等式？

主要发现

• 无限秩plactic幺半群不满足任何非平凡恒等式，因为对任意n，在秩-n plactic幺半群中均不存在长度≤n的非平凡恒等式。
• 对每个n ≥ 3，n×n上三角热带矩阵幺半群满足一个新构造的非平凡恒等式，该构造方法基于Okniński的思路。
• 由u ↦ (φ₃(u), σ₃(u))定义的映射Ψ₃: plact₃ → U₃(𝕋) × U₃(𝕋) 是一个单射同态，因此构成一个嵌入。
• 该嵌入允许得出结论：plact₃满足恒等式u₂(xy, yx) = v₂(xy, yx)，其中u₂与v₂是两个变量的特定词。
• 与plact₃中任一元素相关的杨表参数，均可从φ₃与σ₃下的像唯一恢复，从而确认了单射性。
• 该结果为plact₃满足非平凡恒等式提供了新的、初等的证明，且独立于Izhakian早期的子直积构造。