[论文解读] A Note on Integer Additive Set-Indexers of Graphs

Sudev Naduvath, K. A. Germina|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2013

Advanced Graph Theory Research被引用 2

一句话总结

本文研究图论中的整数加法集合标记（IASI），重点关注弱和强 IASI，其中边的集合标记大小由其关联顶点标记大小的最大值或乘积决定。主要贡献在于刻画了图具备弱或强 IASI 的条件，为 IASI 图的结构及其标记特性提供了深入见解。

ABSTRACT

A set-indexer of a graph $G$ is an injective set-valued function $f:V(G) ightarrow2^{X}$ such that the function $f^{\oplus}:E(G) ightarrow2^{X}-\{\emptyset\}$ defined by $f^{\oplus}(uv) = f(u){\oplus} f(v)$ for every $uv{\in} E(G)$ is also injective, where $2^{X}$ is the set of all subsets of $X$ and $\oplus$ is the symmetric difference of sets. An integer additive set-indexer is defined as an injective function $f:V(G) ightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$ such that the induced function $g_f:E(G) ightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$ defined by $g_f (uv) = f(u)+ f(v)$ is also injective. A graph $G$ which admits an IASI is called an IASI graph. An IASI $f$ is said to be a {\em weak IASI} if $|g_f(uv)|=max(|f(u)|,|f(v)|)$ and an IASI $f$ is said to be a {\em strong IASI} if $|g_f(uv)|=|f(u)| |f(v)|$ for all $u,v\in V(G)$. In this paper, we study about certain characteristics of inter additive set-indexers.

研究动机与目标

• 研究图中整数加法集合标记（IASI）的结构性质。
• 基于边标记大小与顶点标记大小的关系，定义并分析弱和强 IASI。
• 刻画可支持弱或强 IASI 的图，特别是从集合标记基数的角度出发。
• 建立图在弱和强标记约束下成为 IASI 图的必要与充分条件。

提出的方法

• 将 IASI 定义为从图 G 的顶点集 V(G) 到非负整数集合的幂集 2^ℕ₀ 的单射函数 f：V(G) → 2^ℕ₀，为顶点分配子集。
• 通过每个边 uv 的和集 f(u) + f(v) 导出边标记函数 g_f: E(G) → 2^ℕ₀。
• 将 IASI 分类为弱型，若 |g_f(uv)| = max(|f(u)|, |f(v)|)，或强型，若 |g_f(uv)| = |f(u)| · |f(v)|。
• 分析这些条件对边标记函数 g_f 的单射性的影响。
• 使用对称差和和集运算来建模集合标记在边上的传播。
• 通过标签集合大小的组合分析，建立图论约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 图需满足何种条件才能支持弱整数加法集合标记？
• RQ2 在何种条件下图可支持强整数加法集合标记？
• RQ3 顶点集合标记的基数如何影响 IASI 中边集合标记的基数？
• RQ4 支持弱或强 IASI 的图会涌现出何种结构性质？

主要发现

• 当且仅当相邻顶点的集合标记满足 |f(u) + f(v)| = max(|f(u)|, |f(v)|) 时，图才可支持弱 IASI。
• 当且仅当对所有边 uv 都有 |f(u) + f(v)| = |f(u)| · |f(v)| 时，图才可支持强 IASI。
• 在弱和强 IASI 条件下，边标记函数 g_f 的单射性得以保持。
• 弱或强 IASI 的存在对顶点集合的标记及其通过和集运算的相互作用施加了严格约束。