[论文解读] A note on linear codes and nonassociative algebras obtained from skew-polynomial rings

Susanne Pumpluen|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文通过展示所有这些构造——$σ$-循环码、理想$σ$-码和模$σ$-码——均源自由斜多项式环经Petit构造得到的非结合代数$S_f$中的左理想，统一了各种线性码的构造。关键结果是：一个长度为$m$的$ olimits\mathbb{F}_q$上线性码是$σ$-循环码（常数为$d$）当且仅当其斜多项式表示在$S_f$中形成由$ olimits\mathbb{F}_q[t;\sigma]$中$f = t^m - d$的首一右因子生成的左理想。这为利用非结合结构进行码构造提供了统一的代数框架。

ABSTRACT

Different approaches to construct linear codes using skew polynomials can be unified by using the nonassociative algebras built from skew-polynomial rings by Petit.

研究动机与目标

• 将来自斜多项式环的线性码不同构造统一为单一代数框架。
• 证明各种类型的$\sigma$-码（循环码、理想码、模码）均为非结合代数$S_f$中的左理想。
• 通过斜多项式表示和代数$S_f$，建立线性码为$\sigma$-循环码的必要且充分条件。
• 阐明$f = t^m - d$的双边性及其对码存在性和结构的影响。

提出的方法

• 构造非结合代数$S_f = R_m$，其乘法由模$f$的右除法定义，其中$R = \mathbb{F}_q[t;\sigma,\delta]$且$\deg(f) = m$。
• 使用Petit构造，在次数小于$m$的多项式集合上定义非结合代数结构，使用右除法运算$g \circ h = gh \mod_r f$。
• 将$S_f$中的左理想表征为由$f$的右因子生成，从而直接关联到码结构。
• 应用斜多项式环及其左、右除法算法理论，确保表示的存在性与唯一性。
• 利用码向量在$\mathbb{F}_q[t;\sigma]/(f)$中的斜多项式表示，分析其在$S_f$中元素左乘下的封闭性。
• 通过条件$f = t^m - d$在$d \in \mathrm{Fix}(\sigma)$且$m$整除$\sigma$的阶时为双边元素，建立$\sigma$-循环码与$S_f$中左理想的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 不同类型的$\sigma$-码（如循环码、理想码、模码）能否统一于单一代数结构之下？
• RQ2 一个长度为$m$的$ olimits\mathbb{F}_q$上线性码为$\sigma$-循环码的精确代数条件是什么？
• RQ3 由斜多项式环构造的非结合代数$S_f$如何与$\sigma$-码的结构相关联？
• RQ4 $f = t^m - d$在$\mathbb{F}_q[t;\sigma]$中为双边元素的条件是什么？这对码构造有何影响？
• RQ5 $f = t^m - d$在$\mathbb{F}_q[t;\sigma]$中何时不可约？其对非平凡$\sigma$-码的存在性有何影响？

主要发现

• 一个长度为$m$的$ olimits\mathbb{F}_q$上线性码$\mathcal{C}$是常数为$d$的$\sigma$-循环码，当且仅当其斜多项式表示$\mathcal{C}(t)$是$S_f$中的左理想，且由$ olimits\mathbb{F}_q[t;\sigma]$中$f = t^m - d$的首一右因子生成。
• 通过Petit方法构造$S_f$提供了一个统一框架：当$f$可约时，所有$\sigma$-码（循环码、理想码、模码）均作为$S_f$中的左理想出现。
• $f = t^m - d$的双边性等价于$m$整除$\sigma$的阶且$d \in \mathrm{Fix}(\sigma)$，这确保了$S_f$为结合代数且$f$可约。
• 当$m$为素数且$\mathrm{Fix}(\sigma)$包含一个本原$m$次单位根时，$f = t^m - d$在$\mathbb{F}_q[t;\sigma]$中可约当且仅当$d$是某个$z \in \mathbb{F}_q$的$\sigma$-像的范数类乘积。
• 若$f = t^m - d$在$\mathbb{F}_q[t;\sigma]$中不可约，则$S_f$为有限除环（即拟域），此时唯一的$\sigma$-循环码为平凡$[m,m]$码和全空间。
• 当$K/F$为次数$m$的伽罗华扩张且$f = t^m - d$满足$d \notin F$时，非结合代数$S_f$同构于循环代数$(K/F, \sigma, d)$，从而将码理论与有限拟域及散射集联系起来。