[论文解读] A Note on Long non-Hamiltonian Cycles in One Class of Digraphs

Samvel Kh. Darbinyan, Iskandar A. Karapetyan|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2012

graph theory and CDMA systems参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文证明，对于满足 Bang-Jensen、Guo 和 Yeo 定理中度条件的强有向图（在 $ n \geq 4 $ 个顶点上），若该有向图不是有向环，则其必定包含长度为 $ n-1 $ 或 $ n-2 $ 的圈。该结果强化了已知的哈密顿性充分条件，表明在非哈密顿情形下，仍存在长的非哈密顿圈。

ABSTRACT

Let $D$ be a strong digraph on $n\geq 4$ vertices. In [3, Discrete Applied Math., 95 (1999) 77-87)], J. Bang-Jensen, Y. Guo and A. Yeo proved the following theorem: if (*) $d(x)+d(y)\geq 2n-1$ and $min \{d^+(x)+ d^-(y),d^-(x)+ d^+(y)\}\geq n-1$ for every pair of non-adjacent vertices $x, y$ with a common in-neighbour or a common out-neighbour, then $D$ is hamiltonian. In this note we show that: if $D$ is not directed cycle and satisfies the condition (*), then $D$ contains a cycle of length $n-1$ or $n-2$.

研究动机与目标

• 研究满足 Bang-Jensen、Guo 和 Yeo 定理中度条件但非哈密顿的强有向图的结构。
• 确定此类有向图是否仍必须包含长圈，特别是长度为 $ n-1 $ 或 $ n-2 $ 的圈，作为哈密顿性的替代。
• 支持一个猜想：满足定理 C 条件但非泛圈的有向图必须包含长度为 $ n-1 $ 的圈，除少数极值情形外。
• 通过细化半度与度约束下好对和圈扩展的分析，拓展此前关于有向图中长圈的研究。

提出的方法

• 采用反证法，假设在满足度条件的强有向图 $ D $ 中存在一条最长圈 $ C $，其长度 $ m < n $。
• 定义并分析具有共同入邻居或出邻居的顶点对 $ \{x,y\} $（即“好对”），利用度和条件推导结构约束。
• 应用度界和邻域包含关系（如 $ N^-(u_2, C) = \{x_1, \dots, x_j\} $）推导弧数与邻域集合的不等式。
• 基于是否存在如 $ u_2x_2 $、$ x_2u_2 $ 和 $ u_{s-1}u_2 $ 等弧，进行分类讨论，并利用 $ C $ 的最大性导出矛盾。
• 运用引理 1（关于共同邻居）和引理 2（关于弧分布）限制邻域集合，并在度条件被违反时导出矛盾。
• 应用条件 $ d(x)+d(y) \geq 2n-1 $ 与 $ \min\{d^+(x)+d^-(y), d^-(x)+d^+(y)\} \geq n-1 $，对具有共同入或出邻居的顶点对施加，迫使弧密度过高，与 $ C $ 的最大性矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个满足定理 C 度条件但非有向环的强有向图是否必然包含长度为 $ n-1 $ 或 $ n-2 $ 的圈？
• RQ2 哪些结构特性会迫使满足定理 C 哈密顿性充分条件但自身非哈密顿的有向图中存在长的非哈密顿圈？
• RQ3 在给定度约束下，能否证实该猜想：此类有向图是泛圈的，或必含 $ n-1 $-圈？
• RQ4 当完整哈密顿圈不存在时，半度与邻域集合分布如何约束长圈的存在？

主要发现

• 若 $ n \geq 4 $ 个顶点的强有向图 $ D $ 满足定理 C 的度条件且非有向环，则 $ D $ 必定包含长度为 $ n-1 $ 或 $ n-2 $ 的圈。
• 证明表明，在给定度条件下，假设存在长度 $ m < n $ 的最长圈会导致矛盾，该矛盾通过好对与弧分布的分析得出。
• 当在最大圈 $ C $ 长度 $ m < n $ 的假设下，顶点 $ u_2 $、$ x_{i-1} $ 和 $ x_{j+1} $ 的度界被违反时，矛盾产生。
• 当 $ d(x_{i-1}, C^{\prime\prime}) \leq |C^{\prime\prime}| + 1 $ 与度和条件结合时，导出矛盾。
• 当 $ d^+(u_2, C[x_3,x_1]) = 0 $ 时，由于 $ C $ 中入度不足，违反度和条件，导致矛盾。
• 所有可能的弧集配置（如 $ x_2u_2 \in D $、$ u_2x_2 \in D $ 或 $ u_{s-1}u_2 \in D $）均被分析，每种情形均导致矛盾，从而证明长圈的存在。