[论文解读] A Note on M-convex Functions on Jump Systems

Kazuo Murota|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文引入并表征了跳跃 M♮-凸函数，这是在更广泛的跳跃系统类上对跳跃 M-凸函数的推广。它建立了 $ n $ 个变量的跳跃 M♮-凸函数到 $ n+1 $ 个变量的跳跃 M-凸函数的单射嵌入，证明了两者的等价性，并实现了已知结果的转移。本文进一步表明，跳跃 M♮-凸函数在聚合、投影、卷积、复合及网络变换等关键操作下是封闭的。

ABSTRACT

A jump system is defined as a set of integer points (vectors) with a certain exchange property, generalizing the concepts of matroids, delta-matroids, and base polyhedra of integral polymatroids (or submodular systems). A discrete convexity concept is defined for functions on constant-parity jump systems and it has been used in graph theory and algebra. In this paper we call it "jump M-convexity" and extend it to "jump M-natural-convexity" for functions defined on a larger class of jump systems. By definition, every jump M-convex function is a jump M-natural-convex function, and we show the equivalence of these concepts by establishing an (injective) embedding of jump M-natural-convex functions in n variables into the set of jump M-convex functions in n+1 variables. Using this equivalence we show further that jump M-natural-convex functions admit a number of natural operations such as aggregation, projection (partial minimization), convolution, composition, and transformation by a network.

研究动机与目标

• 将 M-凸性从常 parity 跳跃系统扩展到具有同步交换性质的更广泛跳跃系统类。
• 定义并研究跳跃 M♮-凸函数的性质，推广 M-凸函数和赋值 delta-拟阵的概念。
• 通过将跳跃 M♮-凸函数嵌入到更高一维空间，建立跳跃 M♮-凸函数与跳跃 M-凸函数之间的等价性。
• 证明跳跃 M♮-凸函数在聚合、投影、卷积、复合及网络变换等基本操作下是封闭的。
• 使现有跳跃 M-convex 函数的结果能够应用于更广泛的跳跃 M♮-凸函数类。

提出的方法

• 在满足同步交换性质的跳跃系统上引入跳跃 M♮-凸函数的概念，推广 M-凸性。
• 定义 $ n $ 个变量的跳跃 M♮-凸函数到 $ n+1 $ 个变量的跳跃 M-凸函数的单射嵌入，并证明其等价性。
• 利用该嵌入，将跳跃 M-凸函数的已知结构与算法结果转移到跳跃 M♮-凸函数上。
• 通过嵌入和跳跃 M-凸函数的已知结果，分析聚合、投影（部分最小化）、卷积、复合及网络变换等操作。
• 通过定理 4.7 证明卷积下的封闭性，表明两个跳跃 M♮-凸函数的下确界卷积仍为跳跃 M♮-凸函数。
• 通过定理 4.12 建立网络变换下的封闭性，表明当弧成本函数为凸函数时，通过网络变换跳跃 M♮-凸函数仍得到跳跃 M♮-凸函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 M-凸性扩展到常 parity 系统以外的更广泛跳跃系统类？
• RQ2 跳跃 M♮-凸函数能否被嵌入到更高维空间中的跳跃 M-凸函数中？
• RQ3 聚合、投影、卷积、复合及网络变换等基本操作在跳跃 M♮-凸性下是否保持不变？
• RQ4 跳跃 M♮-凸性与跳跃 M-凸性之间的等价性是否允许将后者的已知结果转移到前者？
• RQ5 网络变换能否保持定义在跳跃系统上的 M♮-凸性？

主要发现

• 通过将 $ n+1 $ 个变量中的跳跃 M♮-凸函数单射嵌入，跳跃 M♮-凸函数与跳跃 M-凸函数等价，建立了唯一对应关系。
• 每个跳跃 M-凸函数都是跳跃 M♮-凸函数，且通过嵌入构造，其逆命题也成立。
• 跳跃 M♮-凸函数在聚合下是封闭的，这通过嵌入和跳跃 M-凸函数的已知结果得以证明。
• 两个跳跃 M♮-凸函数的卷积本身仍是跳跃 M♮-凸函数，如定理 4.7 所证明。
• 通过具有凸弧成本函数的网络对跳跃 M♮-凸函数进行网络变换，结果仍为跳跃 M♮-凸函数，如定理 4.12 所述。
• 跳跃 M♮-凸函数的分裂操作也是跳跃 M♮-凸的，这将跳跃 M-凸函数的一个结果扩展到了更广泛的类。