[论文解读] A Note on Max $k$-Vertex Cover: Faster FPT-AS, Smaller Approximate Kernel and Improved Approximation

Pasin Manurangsi|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 6

一句话总结

本文提出了一种更快的FPT近似方案（FPT-AS）用于最大 $k$-顶点覆盖问题，时间复杂度为 $(1/ε)^{O(k)}\text{poly}(n)$，优于先前的 $(k/\varepsilon)^{O(k)}\text{poly}(n)$ 界限。该方法通过对 $O(k/\varepsilon)$ 个高程度顶点进行暴力搜索，实现了更小的 $O(k/\varepsilon)$-顶点近似核，并通过基于SDP的预处理在多项式时间内实现 0.92-近似，超越了先前的 $(0.75+\delta)$-近似。

ABSTRACT

In Maximum $k$-Vertex Cover (Max $k$-VC), the input is an edge-weighted graph $G$ and an integer $k$, and the goal is to find a subset $S$ of $k$ vertices that maximizes the total weight of edges covered by $S$. Here we say that an edge is covered by $S$ iff at least one of its endpoints lies in $S$. We present an FPT approximation scheme (FPT-AS) that runs in $(1/\\epsilon)^{O(k)} poly(n)$ time for the problem, which improves upon Gupta et al.'s $(k/\\epsilon)^{O(k)} poly(n)$-time FPT-AS [SODA'18, FOCS'18]. Our algorithm is simple: just use brute force to find the best $k$-vertex subset among the $O(k/\\epsilon)$ vertices with maximum weighted degrees. Our algorithm naturally yields an efficient approximate kernelization scheme of $O(k/\\epsilon)$ vertices; previously, an $O(k^5/\\epsilon^2)$-vertex approximate kernel is only known for the unweighted version of Max $k$-VC [Lokshtanov et al., STOC'17]. Interestingly, this has an application outside of parameterized complexity: using our approximate kernelization as a preprocessing step, we can directly apply Raghavendra and Tan's SDP-based algorithm for 2SAT with cardinality constraint [SODA'12] to give an $0.92$-approximation for Max $k$-VC in polynomial time. This improves upon Feige and Langberg's algorithm [J. Algorithms'01] which yields $(0.75 + \\delta)$-approximation for some (unspecified) constant $\\delta > 0$. We also consider the minimization version (Min $k$-VC), where the goal is to minimize the total weight of edges covered by $S$. We provide an FPT-AS for Min $k$-VC with similar running time of $(1/\\epsilon)^{O(k)} poly(n)$, which again improves on a $(k/\\epsilon)^{O(k)} poly(n)$-time FPT-AS of Gupta et al. On the other hand, we show that there is unlikely a polynomial size approximate kernelization for Min $k$-VC for any factor less than two.

研究动机与目标

• 开发一种对 $k$ 和 $\varepsilon$ 依赖更优的 Max $k$-Vertex Cover 问题的更快 FPT-AS。
• 为 Max $k$-VC 设计更小的近似核，将顶点数从 $O(k^5/\varepsilon^2)$ 降低至 $O(k/\varepsilon)$。
• 在多项式时间内将 Max $k$-VC 的近似比提升至优于先前的 $(0.75+\delta)$-近似。
• 将 FPT-AS 框架扩展至最小化变体 Min $k$-VC，实现相似的时间效率。
• 在合理的复杂性假设下，为 Min $k$-VC 的近似核化建立强下界。

提出的方法

• Max $k$-VC 的 FPT-AS 通过对 $O(k/\varepsilon)$ 个加权度最高的顶点进行暴力搜索，从中选择最优的 $k$-子集。
• 该方法自然地产生一个大小为 $O(k/\varepsilon)$ 的近似核，显著小于先前在无权情况下的 $O(k^5/\varepsilon^2)$ 界限。
• 该近似核被用作 Raghavendra 和 Tan 的基于 SDP 的 2SAT 带基数约束算法的预处理，从而在多项式时间内实现 0.92-近似。
• 对于 Min $k$-VC，采用相同的高程度顶点暴力选择策略，实现了时间复杂度为 $(1/\varepsilon)^{O(k)}\text{poly}(n)$ 的 FPT-AS。
• 通过使用小集合扩张假设的变体和 $\mathsf{NP} \not\subseteq \mathsf{coNP}/\text{poly}$，推导出 Min $k$-VC 的下界，表明对于近似因子小于 2 的情况，不存在多项式大小的近似核。
• 该方法利用了 Nemhauser-Trotter 定理和核化带来的结构洞见，在保持近似保证的同时减小了问题规模。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 Max $k$-VC 的 FPT-AS 改进为仅在 $1/\varepsilon$ 上指数依赖，而不再在 $k$ 上指数依赖？
• RQ2 能否为 Max $k$-VC 构造出小于先前已知的 $O(k^5/\varepsilon^2)$ 边界的小型近似核？
• RQ3 能否将 Max $k$-VC 在多项式时间内的近似比提升至优于 $(0.75+\delta)$（对任意 $\delta>0$）？
• RQ4 是否存在一种基于 SDP 方法并结合基数约束的多项式时间 0.92-近似算法用于 Max $k$-VC？
• RQ5 在标准复杂性假设下，Min $k$-VC 是否对近似因子小于 2 的情况存在多项式大小的近似核？

主要发现

• 所提出的 Max $k$-VC 的 FPT-AS 运行时间为 $(1/\varepsilon)^{O(k)}\text{poly}(n)$，优于先前的 $(k/\varepsilon)^{O(k)}\text{poly}(n)$ 界限。
• 为 Max $k$-VC 构建了大小为 $O(k/\varepsilon)$ 的近似核，相较于无权情况下先前的 $O(k^5/\varepsilon^2)$ 界限有显著改进。
• 使用 $O(k/\varepsilon)$-顶点核作为预处理，成功在多项式时间内实现 Max $k$-VC 的 0.92-近似，超越了先前的 $(0.75+\delta)$-近似。
• 为 Min $k$-VC 开发了相同时间复杂度 $(1/\varepsilon)^{O(k)}\text{poly}(n)$ 的 FPT-AS，优于先前的 $(k/\varepsilon)^{O(k)}\text{poly}(n)$ 界限。
• 在小集合扩张假设的变体和 $\mathsf{NP} \not\subseteq \mathsf{coNP}/\text{poly}$ 的假设下，Min $k$-VC 对于近似因子小于 2 的情况不存在多项式大小的近似核。
• 该方法表明，高程度顶点选择策略在 $k$-顶点覆盖问题的最大化和最小化变体中均高效且有效。