[论文解读] A note on Noetherian type of spaces

Lajos Soukup|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2010

Advanced Topology and Set Theory参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文研究了空间 $2^{\aleph_\omega}_\delta$ 的 Noetherian 型，其中 $\delta$ 表示 Cantor 立方体 $2^{\aleph_\omega}$ 上的 $G_\delta$ 拓扑。在假设 $(\aleph_\omega)^\omega = \aleph_{\omega+1}$ 以及 Chang's 猜想的变体 $(\aleph_{\omega+1}, \aleph_\omega) \twoheadrightarrow (\aleph_1, \aleph_0)$ 下，本文证明了 Noetherian 型 $Nt(2^{\aleph_\omega}_\delta) \geq \omega_2$，从而解决了 Spadaro 提出的问题，表明在这些条件下其值不可能为 $\omega_1$。

ABSTRACT

The Noetherian type of a space X, Nt(X), is the least cardinal kappa such that X has a base B such that every element of the base is contained in less than kappa many elements of the base. Denote X the space obtained from 2^{aleph_omega} by declaring the G_delta sets to be open. Milovich proved that if Square_{aleph_omega} holds and (aleph_omega)^omega=aleph_{omega+1} then Nt(X)=omega_1. Answering a question of Spadaro, we show that if (aleph_omega)^omega=aleph_{omega+1} and a strong form of Chang Conjecture holds for aleph_ωthen Nt(X)>omega_1.

研究动机与目标

• 为解决 Spadaro 关于 $2^{\aleph_\omega}_\delta$ 的 Noetherian 型是否等于 $\mathfrak{c}^+$ 的问题。
• 研究在大基数假设和组合原理下，Noetherian 型的一致性强度与基数界。
• 将 Milovich 早期的结果（即在 $\square_{\aleph_\omega}$ 与 $(\aleph_\omega)^\omega = \aleph_{\omega+1}$ 下，$Nt(2^{\aleph_\omega}_\delta) = \omega_1$）推广到更高的下界。
• 在 Chang's 猜想下分析 $[\aleph_\omega]^\omega$ 中共终族的结构，并在 Noetherian 型过小时导出矛盾。

提出的方法

• 构造一个结构 $\mathcal{A} = (\aleph_{\omega+1}, \aleph_\omega, \leq, E, f, g, h)$，其中关系与函数编码了 $[\aleph_\omega]^\omega$ 与 $G_\delta$ 拓扑的集合论性质。
• 利用假设 $(\aleph_{\omega+1}, \aleph_\omega) \twoheadrightarrow (\aleph_1, \aleph_0)$ 应用 Chang's 猜想，得到一个大小为 $\aleph_1$ 的初等等子结构 $\mathcal{A}'$ 以及一个可数子集 $U'$。
• 定义一个函数 $f: \aleph_{\omega+1} \to \aleph_{\omega+1}$，使得 $a_\alpha \subset a_{f(\alpha)}$ 且 $a_{f(\alpha)} \in \mathcal{D}$，其中 $\mathcal{D}$ 是 $[\aleph_\omega]^\omega$ 中的一个共终族。
• 利用 $h$ 的可定义性，将 $a_\alpha \setminus a_\beta$ 为无限集这一性质表达为 $\mathcal{A}$ 中的一阶公式。
• 通过证明在 $\mathcal{A}'$ 中存在 $\gamma$，使得对所有 $\beta$ 属于 $f$ 的像，$a_\gamma \setminus a_\beta$ 为无限集，但 $a_{f(\gamma)} \supset a_\gamma$，从而推出 $a_\gamma \setminus a_{f(\gamma)} = \emptyset$，导出矛盾。
• 利用该矛盾证明：任何 $[\aleph_\omega]^\omega$ 中的共终族 $\mathcal{D}$ 必须与某个 $A \in [\aleph_\omega]^\omega$ 的幂集 $\mathcal{P}(A)$ 有不可数交集，从而推出 $Nt(2^{\aleph_\omega}_\delta) \geq \omega_2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弱于 GCH 或强于 $\square_{\aleph_\omega}$ 的假设下，是否可以将 $2^{\aleph_\omega}_\delta$ 的 Noetherian 型下界控制在 $\omega_2$？
• RQ2 当 $(\aleph_\omega)^\omega = \aleph_{\omega+1}$ 且 Chang's 猜想成立时，$Nt(2^{\aleph_\omega}_\delta) \geq \omega_2$ 是否一致？
• RQ3 若局部 Noetherian 型非 $\omega_1$，是否意味着 $[\aleph_\omega]^\omega$ 中共终族存在结构性障碍？
• RQ4 是否可以利用假设 $(\aleph_{\omega+1}, \aleph_\omega) \twoheadrightarrow (\aleph_1, \aleph_0)$ 来推导出 $2^{\aleph_\omega}_\delta$ 的 Noetherian 型的下界？
• RQ5 在给定的集合论假设下，$Nt(2^{\aleph_\omega}_\delta)$ 是否可能严格大于 $\omega_1$？

主要发现

• 在假设 $(\aleph_\omega)^\omega = \aleph_{\omega+1}$ 与 $(\aleph_{\omega+1}, \aleph_\omega) \twoheadrightarrow (\aleph_1, \aleph_0)$ 下，$2^{\aleph_\omega}_\delta$ 的 Noetherian 型至少为 $\omega_2$。
• 该证明依赖于将 Chang's 猜想应用于一个精心构造的结构，该结构编码了 $2^{\aleph_\omega}$ 上的 $G_\delta$ 拓扑。
• 矛盾来源于假设在某点 $x \in 2^{\aleph_\omega}$ 处存在大小为 $\omega_1$ 的局部基，这将意味着某个共终族 $\mathcal{D} \subset [\aleph_\omega]^\omega$ 在任意 $A \in [\aleph_\omega]^\omega$ 之下仅有可数多个成员。
• 这导致在子结构 $\mathcal{A}'$ 中违反了初等等价性与可定义性条件，从而表明这样的局部基不可能存在。
• 该结果表明，$Nt(2^{\aleph_\omega}_\delta) \geq \omega_2$ 在相对大基数存在性下是一致的，因为文献 [1] 中的模型实现了这些假设。
• 本文通过证明 $Nt(2^{\aleph_\omega}_\delta) = \mathfrak{c}^+$ 并非由给定假设所蕴含，且实际上其类型下界为 $\omega_2$，从而解决了 Spadaro 的问题。