[论文解读] A Note on Non-Locality and Ostrogradski's Construction

Klaus Bering|ArXiv.org|Jul 24, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用 13

一句话总结

本文提出了一种基于场论重构的哈密顿形式，用于非局部理论，通过引入空间变量 $ x $ 将时间非局域性编码其中，从而消除了奥斯特罗格拉茨基形式中边界问题的影响。作者通过引入空间变量 $ x $ 将时间非局域性转化为空间依赖性，推导出具有紧支撑泛函的局部场论，将第二类约束重新表述为第一类约束，并通过边界项建立一致的泊松括号结构，避免了雅可比恒等式破坏和可微性问题。

ABSTRACT

We consider the Hamiltonian treatment of non-local theories and Ostrogradski's formalism. This has recently also been discussed by Woodard (hep-th/0006207) and by Gomis, Kamimura and Llosa (hep-th/0006235). In our approach we recast the second class constraints into first class constraints and invoke the boundary Poisson bracket.

研究动机与目标

• 解决奥斯特罗格拉茨基形式中由于边界项和雅可比恒等式破坏引起的非局部理论中的不一致问题。
• 通过引入空间变量 $ x $ 将非局部动力学重构为局部场论，从而消除对人为边界条件的依赖。
• 通过修改的边界泊松括号结构，将第二类约束重新表述为第一类约束。
• 为非局部和高阶导数理论提供一个不依赖拉格朗日量中时间导数的一致哈密顿框架。
• 通过分布动量和广义坐标，推广奥斯特罗格拉茨基构造以适用于离散非局部系统。

提出的方法

• 引入场 $ Q(x,t) $，使得 $ q(t) = Q(-t,t) $，通过空间变量 $ x $ 编码时间非局域性，且 $ Q $ 满足手征性条件 $ \partial_t Q = \partial_x Q $。
• 将拉格朗日量定义为空间积分 $ L[Q](t) = \int dx \, \mathcal{L}(x,t) $，其中 $ \mathcal{L} $ 依赖于 $ \partial_x^n Q $，从而将时间非局域性转化为空间依赖性。
• 通过偏微分方程定义动量 $ P(x,t) $：$ \partial_t P = \partial_x P + \delta L / \delta Q^{(0)} $，并要求其在 $ x $ 上具有紧支撑，以确保泛函导数的良定义性。
• 使用边界泊松括号形式处理约束，通过修改的约束结构将第二类约束重新表述为第一类约束。
• 对于离散非局域性，定义广义奥斯特罗格拉茨基变量 $ Q^{i(n)}(t) = (\partial_x^n Q)(x_i,t) $，并通过在无穷小邻域上的空间积分定义动量 $ P_{i(n)}(t) $。
• 推导出正则哈密顿量 $ H(t) = \sum_{i,n} P_{i(n)} Q^{i(n+1)} - L[Q](t) $，并给出正则泊松括号 $ \{Q^{i(n)}, P_{j(m)}\} = \delta^n_m \delta^i_j $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不破坏雅可比恒等式的前提下，一致地在哈密顿框架中表述非局部理论？
• RQ2 奥斯特罗格拉茨基形式能否被调整以避免非局部系统中与边界相关的不一致？
• RQ3 边界泊松括号在将第二类约束转化为第一类约束中起什么作用？
• RQ4 在标准速度定义失效的非局部理论中，如何一致地定义动量？
• RQ5 能否将一个离散非局部系统重新表述为具有广义坐标和动量的局部、无约束哈密顿系统？

主要发现

• 场重定义 $ Q(x,t) = q(x+t) $ 将非局部时间依赖性转化为空间依赖性，从而实现局部场论的表述。
• 动量 $ P(x,t) $ 通过偏微分方程 $ \partial_t P = \partial_x P + \delta L / \delta Q^{(0)} $ 定义，且具有紧支撑，确保泛函导数的良定义性。
• 边界泊松括号结构允许将第二类约束重新表述为第一类约束，从而解决了哈密顿表述中的一致性问题。
• 对于离散非局域性，动量公式变为 $ P_{i(n)}(t) = O_{(n+1)}(x_i,t) $，其中 $ O_{(k)} $ 为高阶欧拉-拉格朗日导数。
• 所得哈密顿系统为无约束且正则的，具有广义坐标 $ Q^{i(n)}(t) $、动量 $ P_{i(n)}(t) $ 和正则泊松括号。
• 该形式避免了对 $ q(t) $ 显式边界条件的需求，因为 $ x $ 上的紧支撑确保了物理一致性。