[论文解读] A note on orderability and Dehn filling

Christopher M. Herald, Xingru Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文通过去除先前研究中的限制性条件，强化了Culler与Dunfield关于Dehn填充左序性的结果。证明了若一个在整同调3-球面中的纽结余积外层的亚历山大多项式在单位圆上具有单重根，则所有在零点附近（不含零点）的斜率的Dehn填充均具有左序基本群，显著扩展了该结果在纽结理论与3-流形拓扑中的适用范围。

ABSTRACT

We improve upon a recent result of Culler and Dunfield on orderability of certain Dehn fillings by removing a difficult condition they required.

研究动机与目标

• 通过消除先前工作中所需的技术假设，推广关于Dehn填充左序性的结果。
• 建立在整同调3-球面中的纽结余积外层，若其亚历山大多項式在单位圆上具有单重根，则在经线斜率附近的Dehn填充具有左序基本群。
• 通过消除对纤维化或可约表示条件的依赖，将序性结果的适用范围扩展到更广泛的纽结类。
• 支持更广泛的猜想，即左序性、非L-空间性质与共定向的正则叶状结构在3-流形中是等价的。

提出的方法

• 利用等变纽结亏格与联结矩阵分析亚历山大多項式的结构及其在单位圆上的根。
• 应用[H]中关于SU(2)表示的结果，证明在单重根处存在连续的不可约SU(2)表示族，其极限为阿贝尔表示。
• 在SL(2,C)表示空间中构造一条光滑的字符弧，包含在单重根处的阿贝尔表示，其中正参数下的字符取值于SU(2)，负参数下的字符取值于SU(1,1)。
• 利用SU(1,1)与SL(2,R)的共轭关系，获得一条极限为阿贝尔表示的不可约SL(2,R)表示路径。
• 通过将SL(2,R)表示提升至其万有覆叠 $χτ$，为在零点附近（不含零点）的有理斜率Dehn填充构造出非平凡表示，进入 $χτ$。
• 应用[BRW, 定理1.1]，得出此类表示意味着填充后流形的基本群具有左序性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不假设M(0)中所有本质曲面均为纤维或所有PSL2(C)字符均来自可约表示的条件下，建立Dehn填充的左序性？
• RQ2 亚历山大多項式在单位圆上的单重根是否存在可保证经线斜率附近的Dehn填充具有左序性？
• RQ3 由SU(1,1)表示构造的SL(2,R)表示路径，是否可用于诱导在零点附近有理斜率Dehn填充在万有覆叠中的非平凡表示？
• RQ4 在亚历山大多項式的单重根附近，表示空间的结构如何支持不可约表示的存在，以检测Dehn填充中的非平凡拓扑？
• RQ5 该新方法在多大程度上可验证左序性、非L-空间性质与正则叶状结构之间猜想的等价性？

主要发现

• 对于任意整同调3-球面中的纽结余积外层M，若M不可约且其亚历山大多項式在单位圆上具有单重根，则存在a > 0，使得对所有有理斜率r ∈ (−a, 0) ∪ (0, a)，M(r)的基本群具有左序性。
• 该结果无需假设M(0)纤维化为S¹，也无需假设M(0)的所有PSL2(C)字符均来自可约表示，因此去除了先前工作中两项强技术性条件。
• 当M(0)为素流形时（例如当M是S³中纽结的余积外层），该区间可扩展至(−a, a)，包含零斜率，原因在于M(0)的首Betti数为正。
• 证明依赖于在SL(2,C)表示空间中构造一条光滑字符弧，其中t > 0时字符取值于SU(2)，t < 0时取值于SU(1,1)，且在根处收敛于阿贝尔表示。
• 此类路径的存在使得可提升至SL(2,R)的万有覆叠，从而为斜率在(−a, 0) ∪ (0, a)内的Dehn填充构造出非平凡表示，进入 $χτ$，进而蕴含左序性。
• 该结果支持了如下猜想：对于素流形，左序性、非L-空间性质与共定向正则叶状结构的存在性是等价的，尤其适用于此类纽结余积外层的Dehn填充。