[论文解读] A Note on p-Adic Invariant Integral in the Rings of p-Adic Integers

Taekyun Kim|ArXiv.org|Jun 5, 2006

Advanced Mathematical Identities参考文献 2被引用 22

一句话总结

本文研究了当 q 趋近于 -1 时 p-进 q-积分的极限，定义了 ℤₚ 上一个新的 p-进不变积分 I₋₁(f)。推导了 I₋₁(f) 的积分方程，建立了 Witt 型公式，并利用该积分定义了广义欧拉数与多项式，通过 p-进分析和 q-微积分为研究欧拉型特殊数及其性质提供了 p-进框架。

ABSTRACT

In [2], I constructed the p-adic q-integral on Zp. In this paper, we consider the properties of the p-adic invariant p-adic q-integral in the ring of p-adic integers at q=-1. Finally we give the some applications of p-adic q-integration at q=-1. These properties are useful and worthwhile to study Euler numbers and polynomials.

研究动机与目标

• 研究 p-进 q-积分在 q→-1 时的极限，从而得到一个新的 p-进不变积分 I₋₁(f)。
• 推导 ℤₚ 上具有连续导数的函数 f 所满足的 I₋₁(f) 的积分方程。
• 利用 I₋₁(f) 积分建立广义欧拉数与多项式的 Witt 型公式。
• 通过 I₋₁(f) 框架将经典欧拉数与多项式推广为新的 p-进类比。

提出的方法

• 将 p-进 q-积分 I_q(f) 定义为 ℤₚ 上 q-类比 Riemann 和的极限。
• 取 q→-1 的极限，定义费米子 p-进积分 I₋₁(f) = lim_{q→-1} I_q(f)。
• 利用函数方程 I₋₁(f₁) + I₋₁(f) = 2f(0)，其中 f₁(x) = f(x+1)，推导递归积分恒等式。
• 将积分 I₋₁(f) 应用于包含 λ^x e^{xt} 的生成函数，以定义广义欧拉数 E_n(λ) 与多项式 E_n(λ:x)。
• 利用多变量 p-进积分，通过 (2/(λe^t + 1))^r e^{xt} 定义 r 阶高阶欧拉多项式。
• 将积分应用于狄利克雷特征 χ，通过 ∫_X x^n χ(x) dμ₋₁(x) = E_{n,χ} 推导广义欧拉数 E_{n,χ}。

实验结果

研究问题

• RQ1 p-进 q-积分在 q→-1 时的极限下，p-进不变积分 I₋₁(f) 满足哪些积分方程？
• RQ2 I₋₁(f) 积分如何用于定义广义欧拉数与多项式？
• RQ3 I₋₁(f) 积分与经典欧拉数与多项式之间存在何种关系？
• RQ4 多变量 p-进积分如何将 I₋₁(f) 框架扩展至高阶欧拉多项式？
• RQ5 I₋₁(f) 积分能否为与狄利克雷特征相关的广义欧拉数提供 Witt 型公式？

主要发现

• 积分 I₋₁(f) 定义为 lim_{q→-1} I_q(f) = ∑_{x=0}^{p^N-1} (-1)^x f(x)，在 N→∞ 时成立。
• 基本恒等式 I₋₁(f₁) + I₋₁(f) = 2f(0) 对 f₁(x) = f(x+1) 成立，为积分建立了关键递推关系。
• Witt 公式 ∫_{ℤₚ} λ^x x^n dμ₋₁(x) = E_n(λ) 成立，通过生成函数 2/(λe^t + 1) 定义广义欧拉数 E_n(λ)。
• 广义欧拉多项式 E_n(λ:x) 由 ∫_{ℤₚ} λ^y (x+y)^n dμ₋₁(y) = E_n(λ:x) 定义，其显式二项式展开为 E_n(λ:x) = ∑_{k=0}^n C(n,k) E_k(λ) x^{n-k}。
• 对于奇数 f，恒等式 E_n(λ:x) = f^{−1} ∑_{a=0}^{f−1} (−1)^a λ^a E_n(λ^f; (x+a)/f) 提供了多项式的函数方程。
• 与奇数导子 f 的狄利克雷特征 χ 相关的广义欧拉数由 ∫_X x^n χ(x) dμ₋₁(x) = E_{n,χ} 给出，为 E_{n,χ} 建立了 Witt 型公式。