[论文解读] A note on planar partial 3-trees

Jan Kratochvı́l, Michal Vaner|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2012

Advanced Graph Theory Research参考文献 3被引用 10

一句话总结

本文证明了每个至少有三个顶点的平面部分3-树都是一个保持原始平面嵌入的平面3-树的生成子图。关键贡献在于提出了一种显式的归纳构造方法，通过仅添加边的方式将输入图扩展为平面3-树，同时在整个过程中保持给定的无交叉绘图。

ABSTRACT

It implicitly follows from the work of [Colbourn, El-Mallah: On two dual classes of planar graphs. Discrete Mathematics 80(1): 21-40 (1990)] that every planar partial 3-tree is a subgraph of a planar 3-tree. This fact has already enabled to prove a couple of results for planar partial 3-trees by induction on the structure of the underlying planar 3-tree completion. We provide an explicit proof of this observation and strengthen it by showing that one can keep the plane drawing of the input graph unchanged.

研究动机与目标

• 通过证明‘平面部分3-树’与‘部分平面3-树’是等价类，解决两者之间的语义和结构歧义。
• 提供一种构造性证明，表明每个平面部分3-树均可扩展为一个平面3-树，同时保持其平面嵌入。
• 通过确保仅添加边（不添加顶点）并保持嵌入关系，强化Colbourn和El-Mallah的先前隐含结果。
• 通过建立平面部分3-树的稳健结构基础，支持图绘制中的归纳证明。

提出的方法

• 基于顶点数进行归纳，利用3-树存在的完美消除序列（PES）特性。
• 根据图的连通性进行案例分析：1-连通、2-连通和3-连通分量。
• 对于2-连通图，沿最小割将子图的平面3-树完成部分粘合，将一个嵌入到另一个的面内。
• 对于3-连通图，利用存在最小超图的事实，并将最后一个顶点嵌入其三个邻居所围成的面中。
• 采用平面三角剖分技术和面-嵌入粘合方法，在增强过程中保持无交叉绘图。
• 通过将新顶点置于现有平面3-树完成部分的三角形面内，确保所有新增边均无交叉绘制。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有平面部分3-树是否都存在一个保持其原始无交叉绘图的平面3-树超图？
• RQ2 是否可以通过仅添加边的方式实现向平面3-树的增强，而不添加顶点或扭曲嵌入？
• RQ3 平面部分3-树类与部分平面3-树类是否等价？若是，在何种结构条件下成立？
• RQ4 由于这种保持嵌入的超图性质，能否可靠地将基于平面3-树结构的归纳证明应用于平面部分3-树？
• RQ5 连通性（1-、2-、3-连通）在增强过程中此类嵌入的构造中起到什么作用？

主要发现

• 每个至少有三个顶点的平面部分3-树都是保持原始无交叉绘图的平面3-树的生成子图。
• 增强过程仅添加边，不添加顶点，且在整个过程中保持平面性和原始嵌入。
• 对于2-连通图，构造方法沿最小割将两个平面3-树完成部分粘合，将一个嵌入到另一个的面内。
• 对于3-连通图，完美消除序列中的最后一个顶点被嵌入其三个邻居所围成的面中。
• 结果确认了‘平面部分3-树’与‘部分平面3-树’这两个类是等价的，从而验证了基于平面3-树结构的归纳证明的有效性。
• 该证明提供了一种构造性方法，为图绘制中先前的结果（如接触表示和有界斜率绘图）提供了基础和依据。