[论文解读] A note on QUBO instances defined on Chimera graphs

Sanjeeb Dash|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 16被引用 16

一句话总结

该论文表明，McGeoch与Wang在D-Wave Two实验中定义于Chimera图上的QUBO实例，可使用CPLEX的混合整数线性规划（MILP）求解器在单核上于100秒内求得最优解，远快于CPLEX MIQP求解器报告的30分钟时间。尽管有此加速，D-Wave系统在这些实例上仍优于CPLEX，表明量子优势可能源于启发式效率而非精确最优性。

ABSTRACT

McGeoch and Wang (2013) recently obtained optimal or near-optimal solutions to some quadratic unconstrained boolean optimization (QUBO) problem instances using a 439 qubit D-Wave Two quantum computing system in much less time than with the IBM ILOG CPLEX mixed-integer quadratic programming (MIQP) solver. The problems studied by McGeoch and Wang are defined on subgraphs -- with up to 439 nodes -- of Chimera graphs. We observe that after a standard reformulation of the QUBO problem as a mixed-integer linear program (MILP), the specific instances used by McGeoch and Wang can be solved to optimality with the CPLEX MILP solver in much less time than the time reported in McGeoch and Wang for the CPLEX MIQP solver. However, the solution time is still more than the time taken by the D-Wave computer in the McGeoch-Wang tests.

研究动机与目标

• 调查为何尽管存在高效的经典算法，D-Wave Two在Chimera图上定义的QUBO实例上仍优于经典求解器。
• 评估CPLEX的MILP求解器在McGeoch与Wang的D-Wave实验所提取的QUBO实例上的性能，特别是与他们报告的MIQP求解器时间进行比较。
• 评估问题结构（尤其是非零场的存在）对经典求解器求解QUBO实例难度的影响。
• 探索启发式方法在类似实例上是否可达到或超越D-Wave系统的性能，尤其是在量子硬件缺乏最优性保证的前提下。
• 考察割平面和求解器参数在加速经典硬件上结构化QUBO实例求解中的作用。

提出的方法

• 使用标准线性化技术，将McGeoch与Wang的D-Wave实验中的QUBO实例重新表述为混合整数线性规划（MILP）问题。
• 应用变换 $ s_i = 2x_i - 1 $ 将伊辛模型（IM）实例转换为QUBO形式，保持目标函数和整数约束不变。
• 使用CPLEX的MILP求解器并启用激进的割平面生成（通过 `set mip cuts gomory 2` 和 `set mip cuts zerohalf 2`），以加速求解时间。
• 在32至439个节点的实例上测量单核与多核配置下的求解时间，并在不同图尺寸间进行比较。
• 评估一种随机化局部搜索启发式方法的性能，该方法通过交替执行局部下降与随机扰动以逃离局部极小值。
• 将该启发式方法的性能与已知最优解进行基准测试，并与模拟退火和专用求解器的公开结果进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典MILP求解器能否比CPLEX报告的MIQP求解器时间更快地求解McGeoch与Wang的D-Wave实验中的相同QUBO实例？
• RQ2 伊辛模型实例中非零场的存在如何影响经典求解器求解对应QUBO问题的难度？
• RQ3 CPLEX中割平面策略在多大程度上减少了Chimera图上结构化QUBO实例的求解时间？
• RQ4 简单的局部搜索启发式方法能否在这些实例上比D-Wave Two系统更快地找到最优或近似最优解？
• RQ5 为何D-Wave Two系统在存在更快的经典精确算法的情况下，仍能优于经典求解器？

主要发现

• CPLEX MILP求解器在单核上以最大93.8秒的时间求解全部600个McGeoch-Wang QUBO实例至最优，远快于CPLEX MIQP求解器报告的最大1800秒。
• 在四核配置下，最大求解时间降至62.2秒，平均时间为19.8秒，表明MILP方法具有出色的可扩展性。
• 当从原始实例中移除随机场项（$ h_i $）后，生成的QUBO实例变得极难求解，八核配置下最坏情况时间超过20,000秒。
• 即使提供最优解作为热启动，CPLEX在439个节点实例上平均仍需22.8秒，表明大部分计算时间用于证明最优性。
• 一种简单的随机化局部搜索启发式方法在八核上0.25秒内即找到至少99个439个节点实例的最优解，表明D-Wave系统可能在解决比基础局部搜索更复杂的问题。
• Boixo等人和Selby的启发式方法分别在30毫秒和10毫秒内求解类似实例，表明经典启发式方法可在这些基准上达到或超越D-Wave的性能。