[论文解读] A note on radial basis function computing

Wen Chen, Weijun He|ArXiv.org|Jun 3, 2001

Numerical methods in engineering参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文提出一种新型边界元法（BKM），采用响应点相关径向基函数（RBFs）求解非线性对流-扩散问题，实现线性化公式并利用标准线性求解器高效求解。该方法展现出高精度与高效性，揭示了在对称节点分布下RBF矩阵的结构特性，并提出一种通用情况下降低病态性的方法。

ABSTRACT

This note carries three purposes involving our latest advances on the radial basis function (RBF) approach. First, we will introduce a new scheme employing the boundary knot method (BKM) to nonlinear convection-diffusion problem. It is stressed that the new scheme directly results in a linear BKM formulation of nonlinear problems by using response point-dependent RBFs, which can be solved by any linear solver. Then we only need to solve a single nonlinear algebraic equation for desirable unknown at some inner node of interest. The numerical results demonstrate high accuracy and efficiency of this nonlinear BKM strategy. Second, we extend the concepts of distance function, which include time-space and variable transformation distance functions. Finally, we demonstrate that if the nodes are symmetrically placed, the RBF coefficient matrices have either centrosymmetric or skew centrosymmetric structures. The factorization features of such matrices lead to a considerable reduction in the RBF computing effort. A simple approach is also presented to reduce the ill-conditioning of RBF interpolation matrices in general cases.

研究动机与目标

• 开发一种高效的数值格式，用于求解基于径向基函数（RBFs）的非线性对流-扩散问题。
• 通过将非线性RBF系统转化为线性公式，解决求解非线性RBF系统的计算挑战。
• 研究当节点对称分布时，RBF系数矩阵的结构特性。
• 通过改进数值稳定性，降低RBF插值矩阵的病态性。
• 将距离函数概念推广至时空及变量变换变体。

提出的方法

• 引入响应点相关的RBFs，通过边界元法（BKM）将非线性对流-扩散问题转化为线性系统。
• 应用BKM直接生成非线性问题的线性公式，从而可使用标准线性求解器。
• 在求解线性系统后，利用单个非线性代数方程计算感兴趣的内部节点处的未知量。
• 分析对称节点分布下RBF系数矩阵的特性，识别出中心对称或反对称中心对称结构。
• 提出一种利用这些结构特性的矩阵分解技术，以降低计算量。
• 提出一种简单方法，通过矩阵变换有效缓解一般RBF插值矩阵中的病态性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过线性化RBF公式高效求解非线性对流-扩散问题？
• RQ2 对称节点分布如何影响RBF系数矩阵的结构？
• RQ3 哪些矩阵特性（如中心对称性）可被利用以降低RBF方法的计算成本？
• RQ4 能否在不牺牲精度的前提下有效降低RBF插值矩阵的病态性？
• RQ5 如何将距离函数推广至时空及变量变换变体？

主要发现

• 所提出的非线性BKM策略通过响应点相关RBFs将非线性问题降阶为线性系统，实现了高精度与高效性。
• 当节点对称分布时，生成的RBF系数矩阵表现出中心对称或反对称中心对称结构。
• 这些矩阵结构可通过专用分解技术显著降低计算量。
• 该方法通过简单有效的变换方法降低了RBF插值矩阵的病态性。
• 数值结果证实该方法在非线性对流-扩散问题中具有高精度与计算效率。
• 将距离函数推广至时空及变量变换变体，显著拓宽了RBF方法的应用范围。