[论文解读] A note on Renner monoids

Eddy Godelle|ArXiv.org|Apr 6, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文为所有Renner半群提供了单幺元表示和一种新的长度函数，将Coxeter群理论推广至代数半群。该长度函数推广了Coxeter长度，并在Bruhat分解下表现良好，关键结果表明其与Hecke代数相容，并与双陪集维数的几何公式相联系。

ABSTRACT

We provide every Renner monoids with a monoid presentation, and we introduce a length function which extends the Coxeter length function.

研究动机与目标

• 为在代数群理论中扮演类似于Weyl群在代数群理论中角色的Renner半群发展一种类似Coxeter的理论。
• 解决尽管Renner半群具有结构重要性，但其系统性单幺元表示和长度函数理论仍显缺乏的问题。
• 引入一种扩展Coxeter长度的新长度函数，并展现出有利的几何与组合性质。
• 建立该长度函数与Renner半群Hecke代数之间的联系，推广rook半群情形下的结果。
• 通过Bruhat分解中的双陪集维数，提供长度函数的几何公式。

提出的方法

• 使用生成元 $ S \bigcup \tilde{\text{L}} $ 构造任意Renner半群 $ R(M) $ 的单幺元表示，其中 $ S $ 为Coxeter生成集，$ \tilde{\text{L}} $ 为幂等元交叉截面格中非单位元的集合。
• 定义关系：(COX1) 与 (COX2) 用于Coxeter群部分；(TYM1)、(TYM2) 与 (TYM) 用于生成元与幂等元之间的相互作用。
• 通过设定 $ \ell(s) = 1 $ 对于 $ s \in S $，$ \ell(e) = 0 $ 对于 $ e \in \tilde{\text{L}} $，并将长度函数在字上可加扩展，再取最小表示长度，来定义长度函数 $ \ell $。
• 利用 $ R(M) $ 中元素的正规分解 $ (w_1, e, w_2) $，分析长度函数在左乘简单反射时的行为。
• 建立几何公式：$ \ell(w) = \dim(Bw_1 e B) - \dim(B e w_2 B) $，其中 $ (w_1, e, w_2) $ 是 $ w $ 的正规分解。
• 证明长度函数满足一种Bruhat型分解规则：$ BsBwB $ 等于 $ BwB $、$ BswB $ 或 $ BswB \cup BwB $，具体取决于 $ \ell(sw) = \ell(w) $、$ \ell(sw) = \ell(w)+1 $ 或 $ \ell(sw) = \ell(w)-1 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为所有Renner半群系统性地构造单幺元表示，推广已知的rook半群情形？
• RQ2 是否存在一种定义在Renner半群上的长度函数，其能推广Coxeter长度，并在左乘简单反射时表现良好？
• RQ3 该长度函数是否具有基于Bruhat分解中双陪集维数的几何解释？
• RQ4 该新长度函数与经典Solomon长度函数以及Hecke代数结构之间有何关系？
• RQ5 在何种条件下有 $ \ell(sw) = \ell(w) $、$ \ell(sw) = \ell(w)+1 $ 或 $ \ell(sw) = \ell(w)-1 $，且这些条件如何与正规分解相关？

主要发现

• Renner半群 $ R(M) $ 允许使用生成元 $ S \cup \Lambda_{\circ} $ 和关系 (COX1)、(COX2)、(TYM1)、(TYM2) 与 (TYM) 的单幺元表示，推广了rook半群的情形。
• 新长度函数 $ \ell $ 满足 $ \ell(sw) = \ell(w) $、$ \ell(sw) = \ell(w)+1 $ 或 $ \ell(sw) = \ell(w)-1 $，具体取决于 $ sw $ 的正规分解，如命题 0.2 所形式化。
• 该长度函数具有几何实现性：$ \ell(w) = \dim(Bw_1 e B) - \dim(B e w_2 B) $，其中 $ (w_1, e, w_2) $ 是 $ w $ 的正规分解。
• 新长度函数在分解中与Solomon长度函数相差一个常数偏移，如 $ \ell(sw) - \ell(w) = \tilde{l}(sw) - \tilde{l}(w) $ 所示，其中 $ \tilde{l} $ 为Solomon长度。
• 当 $ w $ 属于单位群 $ W $ 时，长度函数退化为标准Coxeter长度：$ \ell(w) = \dim(BwB) - \dim(B) $。
• 长度函数满足 $ \ell(we) \leq \ell(w) $ 和 $ \ell(ew) \leq \ell(w) $，且等式成立当且仅当 $ we $ 或 $ ew $ 的正规分解以特定方式被保持，如推论 3.4 所示。