[论文解读] A note on scheduling with low rank processing times

Lin Chen, Deshi Ye+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2013

Scheduling and Optimization Algorithms参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文改进了低秩处理时间矩阵下最小完成时间调度问题的不可近似性界限。通过从一种特殊化的三维匹配变体归约，并优化作业处理时间的构造，作者证明了LRS(4)在$3/2 - \epsilon$因子内不可近似，且LRS(3)为APX难，从而收紧了先前结果中要求秩7才能实现$3/2$近似硬度、秩4才能实现APX难性的结论。

ABSTRACT

We consider the classical minimum makespan scheduling problem, where the processing time of job $j$ on machine $i$ is $p_{ij}$, and the matrix $P=(p_{ij})_{m imes n}$ is of a low rank. It is proved in (Bhaskara et al., SODA 2013) that rank 7 scheduling is NP-hard to approximate to a factor of $3/2-ε$, and rank 4 scheduling is APX-hard (NP-hard to approximate within a factor of $1.03-ε$). We improve this result by showing that rank 4 scheduling is already NP-hard to approximate within a factor of $3/2-ε$, and meanwhile rank 3 scheduling is APX-hard.

研究动机与目标

• 为低秩处理时间矩阵调度问题的不可近似性结果填补空白。
• 证明秩4调度在$3/2 - \epsilon$因子内已为NP难，优于此前需要秩7才能实现该硬度结果的工作。
• 确立秩3调度的APX难性，从而收紧不可解性的阈值。
• 通过使用特殊化的三维匹配变体和精细的作业时间设计，改进组合问题的归约方法。

提出的方法

• 从一种受限的三维匹配问题变体（3DM′）归约，其中元素和匹配具有特定对称性，并固定匹配集合。
• 使用D维向量模型设计作业处理时间，其中$p_{ij} = u_i \cdot v_j^T$，主结果中$D=4$，APX难性证明中$D=3$。
• 构建真值赋值和子句机，以模拟3SAT实例中的变量赋值和子句满足性。
• 使用'超大作业'和'虚拟作业'来强制负载约束，并确保仅当赋值有效时才能实现均衡调度。
• 利用$T_1$和$T_2$匹配的结构来模拟3SAT归约中的逻辑约束。
• 证明每个机器必须是'真值仁慈'的——即机器上所有非超大作业的真值必须一致——从而将机器负载与逻辑一致性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 LRS(4)是否在$3/2 - \epsilon$因子内不可近似？
• RQ2 能否将$3/2$近似硬度的不可近似性阈值从秩7降低至秩4？
• RQ3 LRS(3)是否为APX难，或是否存在PTAS？
• RQ4 能否通过从3DM′的变体进行更精细的归约，获得强于先前工作的不可近似性结果？
• RQ5 具有低秩结构的处理时间矩阵是否从根本上影响最小完成时间调度问题的可近似性？

主要发现

• LRS(4)在任意$\epsilon > 0$下均不可近似于$3/2 - \epsilon$因子内，优于此前需要秩7才能实现该硬度结果的结论。
• LRS(3)为APX难，即不可近似于$1.03 - \epsilon$因子内，强于此前需要秩4才能实现APX难性的结论。
• LRS(4)的归约使用了具有固定$T_2$匹配和结构化$T_1$匹配的特殊3DM′变体，从而对作业分配实现更紧密的控制。
• 该证明确立了所有机器必须是'真值仁慈'的——即机器上所有非超大作业的真值必须一致——从而将调度均衡性与逻辑一致性联系起来。
• 构造确保仅当底层3SAT实例可满足时才存在有效调度，且仅当赋值一致时，完成时间才被限制在$r + O(\epsilon)$以内。
• 结果填补了低秩调度问题中已知不可近似性边界的空白，表明即使秩3和秩4矩阵也产生强烈的硬度结果。