[论文解读] A note on semilinear elliptic equation with biharmonic operator and multiple critical nonlinearities

Mousomi Bhakta|arXiv (Cornell University)|May 1, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文研究了带有双调和算子和多重临界非线性项（含奇异势）的四阶椭圆方程的非平凡弱解的存在性与非存在性。利用Pohozaev型恒等式，证明了当 $1 < q < 2^{**}$ 时解的非存在性；当 $q = 2^{**}$ 且 $-(N-2)^2 \ less \mu < \mu_1$ 时，通过仔细分析Palais-Smale序列与标度假不变性，平衡竞争临界非线性项，借助Mountain-Pass定理建立了存在性。

ABSTRACT

We study the existence and non-existence of nontrivial weak solution of $$ {Δ^2u-μ\frac{u}{|x|^{4}} = \frac{|u|^{q_β-2}u}{|x|^β}+|u|^{q-2}u\quad extrm{in ${\mathbb R}^N$,}} $$ where $N\geq 5$, $q_β=\frac{2(N-β)}{N-4}$, $0

研究动机与目标

• 分析 $\mathbb{R}^N$，$N \geq 5$ 中带有多重临界非线性项的半线性双调和方程的非平凡弱解的存在性与非存在性。
• 解决当 $q = 2^{**}$ 时，由 $|u|^{q_\beta-2}u/|x|^\beta$ 与 $|u|^{2^{**}-2}u$ 项引起的竞争临界非线性项带来的挑战。
• 通过在合适能量水平构造Palais-Smale序列，克服由缩放变换 $u(x) \mapsto t^{(N-4)/2}u(tx)$ 所致的紧性缺失问题。
• 将变分方法拓展至带有奇异势的四阶方程，特别是当 $\mu < \mu_1$ 且 $\mu \in [-(N-2)^2, 0)$ 时的情形。

提出的方法

• 利用Pohozaev型恒等式证明当 $1 < q < 2^{**}$ 时解的非存在性。
• 采用Ambrosetti与Rabinowitz的Mountain-Pass定理，证明当 $q = 2^{**}$ 且 $\mu \in [-(N-2)^2, \mu_1)$ 时存在非平凡弱解。
• 在 $D^{2,2}(\mathbb{R}^N)$ 上定义能量泛函 $I(u) = \frac{1}{2}\|u\|^2 - \frac{1}{q_\beta}\int \frac{|u|^{q_\beta}}{|x|^\beta}dx - \frac{1}{2^{**}}\int |u|^{2^{**}}dx$，其 $C^1$ 性质由Rellich不等式与Sobolev不等式保证。
• 通过缩放不变性平衡能量贡献，构造一个在临界能量水平上的Palais-Smale序列，避免任一非线性项主导另一项。
• 利用径向对称性及径向极值常数 $S_{\mu,0}^{rad}$ 与 $S_{\mu,\beta}^{rad}$，在 $\mu < 0$ 时恢复存在性，特别是当 $\mu \in [-(N-2)^2, 0)$ 时。
• 应用Schauder估计与正则性理论，证明弱收敛子列的弱极限 $v_0$ 在原点外为经典的 $C^4$ 解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{R}^N$ 中，双调和方程 $\Delta^2 u - \mu \frac{u}{|x|^4} = \frac{|u|^{q_\beta-2}u}{|x|^\beta} + |u|^{q-2}u$ 何时存在非平凡弱解？
• RQ2 为何标准Mountain-Pass定理在 $q = 2^{**}$ 时无法产生解，以及如何克服这一失败？
• RQ3 两种临界非线性项之间的竞争在解的存在性或非存在性中起何作用？
• RQ4 当 $\mu < 0$ 时，$\mu$ 的符号与大小如何影响解的存在性？
• RQ5 能否利用缩放变换 $u(x) \mapsto t^{(N-4)/2}u(tx)$ 的共形不变性，在两种非线性项均为临界时构造解？

主要发现

• 当 $1 < q < 2^{**}$ 时，非平凡弱解不存在，该结论通过Pohozaev型恒等式得到证明。
• 当 $q = 2^{**}$ 且 $\mu \in [-(N-2)^2, \mu_1)$ 时，存在非平凡弱解，该结论通过Mountain-Pass定理建立。
• 临界能量水平被选择以平衡两种临界非线性项的贡献，防止其中一项主导另一项。
• Palais-Smale序列弱收敛于一个非平凡极限 $v_0$，通过正则性理论证明其在 $\mathbb{R}^N \setminus \{0\}$ 上为经典解。
• 当 $\mu < 0$ 时，通过使用径向极值函数与径向常数 $S_{\mu,0}^{rad}$ 与 $S_{\mu,\beta}^{rad}$ 扩展了存在性结果，这些常数始终可达到。
• 解 $v_0$ 在原点外为 $C^4$ 光滑，且非线性项的超线性增长确保了 $\Delta^2 v_0$ 的局部Lipschitz连续性。