[论文解读] A note on some sub-Gaussian random variables

Romeo Meštrović|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2018

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文研究了复值离散随机变量 $X_l(m,N)$ 的次高斯性质，该变量定义为从 $\{1, \dots, N\}$ 中无放回均匀随机选取的 $m$ 个单位根之和。通过使用次高斯范数 $\|\cdot\|_{\psi_2}$，本文利用三角恒等式和基于 $m$ 与 $N$ 模 4 的情况分析，推导出 $|X_l(m,N)|$、$|U_l(m,N)|$ 和 $|V_l(m,N)|$ 的期望值的紧致上下界。

ABSTRACT

In [8] the author of this paper continued the research on the complex-valued discrete random variables $X_l(m,N)$ ($0\le l\le N-1$, $1\le M\le N)$ recently introduced and studied in [24]. Here we extend our results by considering $X_l(m,N)$ as sub-Gaussian random variables. Our investigation is motivated by the known fact thatthe so-called Restricted Isometry Property (RIP) introduced in [4] holds with high probability for any matrix generated by a sub-Gaussian random variable. Notice that sensing matrices with the RIP play a crucial role in Theory of compressive sensing. Our main results concern the proofs of the lower and upper bound estimates of the expected values of the random variables $|X_l(m,N)|$, $|U_l(m,N)|$ and $|V_l(m,N)|$, where $U_l(m,N)$ and $U_l(m,N)$ are the real and the imaginary part of $X_l(m,N)$, respectively. These estimates are also given in terms of related sub-Gaussian norm $\Vert \cdot\Vert_{ψ_2}$ considered in [28]. Moreover, we prove a refinement of the mentioned upper bound estimates for the real and the imaginary part of $X_l(m,N)$.

研究动机与目标

• 通过将 $X_l(m,N)$ 分析为次高斯随机变量，拓展先前对复值离散随机变量的研究。
• 基于次高斯范数 $\|\cdot\|_{\psi_2}$，建立 $\mathbb{E}[|X_l(m,N)|]$、$\mathbb{E}[|U_l(m,N)|]$ 和 $\mathbb{E}[|V_l(m,N)|]$ 的紧致上下界。
• 利用三角恒等式技术，改进现有对 $X_l(m,N)$ 实部与虚部的上界估计。
• 为所有 $m$ 与 $N$ 的奇偶性及模 4 的情形下 $V_l(m,N)$ 的 $L^\infty$-范数提供显式闭式表达。

提出的方法

• 随机变量 $X_l(m,N)$ 定义为从 $N$ 次单位根中无放回均匀随机选取的 $m$ 个不同单位根之和。
• 通过三角恒等式与求和公式，分别对实部 $U_l(m,N)$ 和虚部 $V_l(m,N)$ 进行分析。
• 基于 $m$ 的奇偶性与 $N \mod 4$ 的不同情况，进行分类讨论，推导出 $V_l(m,N)$ 最大绝对值的分段三角表达式。
• 利用次高斯范数 $\|X_l(m,N)\|_{\psi_2}$ 控制尾部行为，并推导期望值估计。
• 应用恒等式 $\sum_{k=a}^{b} \sin(2k\pi/N) = \frac{\sin(m\pi/N) \sin(\text{adjustment term})}{\sin(\pi/N)}$ 计算 $V_l(m,N)$ 的极值。
• 通过证明 $\|V_l(m,N)\|_{\infty}$ 在所有情形下一致等于：当 $m$ 为偶数时为 $\frac{\sin(m\pi/N) \sin((2\lfloor N/4\rfloor + 1)\pi/N)}{\sin(\pi/N)}$，当 $m$ 为奇数时为 $\frac{\sin(m\pi/N) \sin(2\lfloor(N+1)/4\rfloor\pi/N)}{\sin(\pi/N)}$，实现结果的统一。

实验结果

研究问题

• RQ1 在次高斯范数 $\|\cdot\|_{\psi_2}$ 下，$\mathbb{E}[|X_l(m,N)|]$ 的最紧致上下界是什么？
• RQ2 实部 $U_l(m,N)$ 与虚部 $V_l(m,N)$ 的期望模长如何随 $m$ 与 $N$ 变化？
• RQ3 能否为所有 $m$ 与 $N$ 的模 4 情况下 $V_l(m,N)$ 的 $L^\infty$-范数提供统一的闭式表达？
• RQ4 能否对现有 $\mathbb{E}[|U_l(m,N)|]$ 与 $\mathbb{E}[|V_l(m,N)|]$ 的上界估计进行改进？
• RQ5 多重集 $\Phi(l,N)$ 的结构如何影响 $X_l(m,N)$ 的次高斯行为？

主要发现

• 当 $m$ 为偶数且 $N \equiv 1$ 或 $3 \pmod{4}$ 时，虚部 $V_l(m,N)$ 的 $L^\infty$-范数满足 $\|V_l(m,N)\|_{\infty} = \frac{\sin(m\pi/N) \sin((2\lfloor N/4\rfloor + 1)\pi/N)}{\sin(\pi/N)}$。
• 当 $m$ 为偶数且 $N \equiv 0$ 或 $2 \pmod{4}$ 时，同一表达式成立：$\|V_l(m,N)\|_{\infty} = \frac{\sin(m\pi/N) \sin((2\lfloor N/4\rfloor + 1)\pi/N)}{\sin(\pi/N)}$，该结果通过三角和的分类分析推导得出。
• 当 $m$ 为奇数时，$\|V_l(m,N)\|_{\infty} = \frac{\sin(m\pi/N) \sin(2\lfloor(N+1)/4\rfloor\pi/N)}{\sin(\pi/N)}$，且所有情况下均有 $M_2 = -M_1$，从而将最大值简化为 $M_1$。
• $|X_l(m,N)|^2$ 的期望值恰好为 $\frac{m(N-m)}{N-1}$，确认了在均匀采样下的方差结构。
• 当 $N \neq 2l$ 时，实部与虚部满足 $\mathbb{E}[(U_l(m,N))^2] = \mathbb{E}[(V_l(m,N))^2] = \frac{m(N-m)}{2(N-1)}$，确认了对称性。
• 本文证明了 $X_l(m,N)$ 是次高斯的，且满足 $\|X_l(m,N)\|_{\psi_2} \lesssim \sqrt{\frac{m(N-m)}{N-1}}$，将结果与压缩感知中的限制等距性（RIP）联系起来。