[论文解读] A note on some summations due to Ramanujan, their generalization and some allied series

Arjun K. Rathie, R. B. Paris|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2013

Advanced Mathematical Identities参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文利用广义Karlsson-Minton公式和Dixon定理，推广了Ramanujan的超几何级数求和，推导出涉及Pochhammer符号和伽马函数的${}_3F_2$与${}_4F_3$级数的闭式表达。关键结果包括以$π$、$Γ$-函数和digamma函数表示的Ramanujan型级数的精确求值，及其在$S_p = \Gamma(p)/\Gamma^2(p+1/2)$等特殊情况下的应用。

ABSTRACT

In this short note, we aim to discuss some summations due to Ramanujan, their generalizations and some allied series

研究动机与目标

• 利用高级求和定理推广涉及超几何级数的Ramanujan求和。
• 对与$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{4}$和$p+1$相关的参数的广义${}_3F_2$和${}_4F_3$超几何级数进行求值。
• 推导涉及Pochhammer符号和分母中倒数线性项的级数的精确闭式表达。
• 利用广义Karlsson-Minton求和公式统一并扩展Ramanujan的原始结果。
• 为具有二次及更高阶Pochhammer比的无穷级数提供系统化的求值方法。

提出的方法

• 利用具有整数参数平移的${}_{r+2}F_{r+1}$级数的广义Karlsson-Minton求和公式。
• 对参数为$a=b=\frac{1}{2}$、$c=\frac{1}{4}$及相关组合的${}_3F_2$级数应用Dixon求和定理。
• 对满足$c-a-b>0$的${}_2F_1$级数应用Gauss求和定理以进行求值。
• 利用Pochhammer符号恒等式将分母为$(n+1)\cdots(n+p)$的级数转化为超几何形式。
• 使用表达式$S = \sum_{n=0}^\infty \frac{(\frac{1}{2})_n}{n!} \frac{1}{b + n\mu}$，并通过超几何变换将其约化为${}_2F_1$函数。
• 应用极限过程和digamma函数$\psi(z)$的特殊值以处理参数重合的情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Ramanujan原始求和中涉及$\left(\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\right)^2$的级数推广到更高阶的超几何级数？
• RQ2 对于级数$\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(\frac{1}{2})_n}{n!}\right)^2 \frac{1}{(n+1)\cdots(n+p)}$，可以推导出何种闭式求值？
• RQ3 广义Karlsson-Minton公式能否用于求值具有平移参数的${}_3F_2$和${}_4F_3$级数？
• RQ4 当$b \neq c$和$b = c$时，$S = \sum_{n=0}^\infty \frac{(\frac{1}{2})_n}{n!} \frac{1}{(1+n/b)(1+n/c)}$的精确值是什么？
• RQ5 当代入特定参数时，结果如何简化为已知恒等式，如Ramanujan的$\frac{\pi^{3/2}}{2\sqrt{2}\Gamma^2(\frac{3}{4})}$？

主要发现

• 级数$S_p = \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(\frac{1}{2})_n}{n!}\right)^2 \frac{1}{(n+1)\cdots(n+p)}$对整数$p \geq 1$精确求值为$\frac{\Gamma(p)}{\Gamma^2(p+\frac{1}{2})}$。
• 当$p=1$时，$S_1 = \frac{4}{\pi}$；当$p=2$时，$S_2 = \frac{16}{9\pi}$；当$p=3$时，$S_3 = \frac{128}{225\pi}$。
• 当$b=c=\frac{1}{4}$时，广义级数$S = {}_3F_2\left[\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{4};\frac{5}{4},\frac{5}{4};1\right]$约化为Ramanujan恒等式$\frac{\pi^{5/2}}{8\sqrt{2}\Gamma^2(\frac{3}{4})}$。
• 当$b \neq c$时，得到$S = \frac{\pi^{1/2}bc}{b-c}\left(\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(c+\frac{1}{2})} - \frac{\Gamma(b)}{\Gamma(b+\frac{1}{2})}\right)$，且当$b=c$时存在涉及digamma函数的极限形式。
• 当$m=1$时，级数$\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(\frac{1}{2})_n}{n!}\right)^2 \frac{n+f}{(n+1)\cdots(n+p)} = \frac{\Gamma(p)}{\Gamma^2(p+\frac{1}{2})}\left(f + \frac{1}{4(p-1)}\right)$对$p \geq 2$成立。
• 当$m=2$时，求值结果为$\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(\frac{1}{2})_n}{n!}\right)^2 \frac{(n+f)(n+f+1)}{(n+1)\cdots(n+p)} = \frac{\Gamma(p)}{\Gamma^2(p+\frac{1}{2})}\left(f(f+1) + \frac{f+1}{2(p-1)} + \frac{9}{16(p-1)(p-2)}\right)$对$p \geq 3$成立。