[论文解读] A note on splitting numbers for Galois covers and $\pi_1$-equivalent Zariski $k$-plets

Taketo Shirane|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文引入了在Galois覆叠下光滑复流形中子簇的分裂数，证明其在特定同胚映射下保持不变。通过将此不变量应用于Shimada的平面曲线型式(b, m)的等 singularity 家族，作者表明即使基本群同构，不同连通分支中的曲线在拓扑上仍可区分。关键结果是为任意k ≥ 2 构造出π₁-等价的Zariski k-plet，解决了关于此类k-plet在成对之外存在的开放问题。

ABSTRACT

In this paper, we introduce extit{splitting numbers} of subvarieties in a smooth variety for a Galois cover, and prove that the splitting numbers are invariant under certain homeomorphisms. By splitting numbers, we give a necessary and sufficient condition for two plane curves of type $(b,m)$ to be topologically equivalent as pairs of the complex projective plane and plane curves, where a plane curve of type $(b,m)$ is an arrangement of two smooth plane curves of degree $3$ and $b$ defined by I.~Shimada. Consequently, we prove that there are $\pi_1$-equivalent Zariski $k$-plets for any $k\geq2$.

研究动机与目标

• 定义并研究Galois覆叠下子簇的分裂数作为拓扑不变量。
• 解决问题0.3：即Fb,m中不同连通分支的(b, m)型曲线是否构成Zariski对。
• 证明对任意k ≥ 2 存在π₁-等价Zariski k-plet，扩展已知的Zariski对结果。

提出的方法

• 将子簇C在Galois覆叠φ下的分裂数sφ(C)定义为C在覆叠正规化中的连通分支数。
• 利用有限覆盖和线丛几何，将分裂数与曲线上Pic0中的除子阶联系起来。
• 应用关于沿曲线B分支的m次简单循环覆叠理论，计算与B相交且重数被m整除的曲线C的分裂数。
• 利用Shimada的等 singularity 家族Fb,m(µ)的结构，将E的分裂数与Pic0(E)中除子类的阶联系起来。
• 通过正规化与有理映射，证明分裂数在保持覆叠结构的同胚映射下保持不变。
• 利用定理2.7，通过特定次数中间曲线的存在性来计算分裂数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当平面曲线的基本群同构时，分裂数是否仍能区分其拓扑结构？
• RQ2 Fb,m中不同连通分支的(b, m)型曲线是否可通过分裂数实现拓扑可区分？
• RQ3 每个整数k ≥ 2 是否都存在一个π₁-等价Zariski k-plet？
• RQ4 Galois覆叠中曲线E的分裂数是否由Pic0(E)中除子类的阶决定？
• RQ5 当基本群同构时，不变量sφ(C)能否检测P²中曲线非同胚嵌入？

主要发现

• 分裂数sφ(C)在保持Galois覆叠结构的同胚映射下保持不变。
• 对于(b, m)型曲线，E的分裂数为sφ(E) = m/µ，其中µ是Pic0(E)中[OE(DR − nH)]的阶。
• Fb,m中不同连通分支的R1与R2型曲线构成Zariski对当且仅当其分裂数不同。
• Fb,m的连通分支数等于m的因数个数，每个分支对应一个固定的分裂数。
• 对任意k ≥ 2，存在一个π₁-等价Zariski k-plet，其构造基于F5k−1,5k−1家族中k个不同分支。
• 该构造证实对所有k ≥ 2 存在π₁-等价Zariski k-plet，回答了该领域的一个开放问题。