[论文解读] A note on strong convergence of implicit scheme for SDEs under local one-sided Lipschitz conditions

Li Tan, Chenggui Yuan|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用 4

一句话总结

该论文在漂移系数满足局部单边Lipschitz条件（弱于通常所需的全局或局部Lipschitz条件）的前提下，建立了修正的 $\theta$-EM 隐式格式对随机微分方程（SDEs）的强收敛性。通过引入截断技术以确保适定性，作者证明了当步长趋于零时，数值解在均方意义下收敛于真实解，即使漂移项呈超线性增长。

ABSTRACT

Under a local one-sided Lipschitz condition, Krylov [KR] proved the existence and uniqueness of the strong solutions for stochastic differential equations by using the Euler-Maruyama approximation, where he showed that the sequence of numerical solutions converges to the true solution in probability as the stepsize tends to zero. In this note, we shall extend the results in [KR] and investigate an implicit numerical scheme for these equations under a local one-sided Lipschitz condition.

研究动机与目标

• 解决在SDEs的局部单边Lipschitz条件下，隐式数值格式缺乏强收敛结果的问题。
• 克服标准 $\theta$-EM 格式为保证适定性而需全局单边Lipschitz条件的局限性。
• 通过截断技术开发一种修正的 $\theta$-EM 格式，使其在局部单边Lipschitz条件下保证数值解的存在性与唯一性。
• 在漂移系数超线性增长的SDEs下，建立修正格式在均方意义下对真实解的强收敛性。
• 将先前关于Euler-Maruyama和稳定化格式的结果推广至在漂移项正则性假设更弱条件下的隐式格式。

提出的方法

• 引入截断函数以修改漂移系数，确保在局部单边Lipschitz条件下，修正的 $\theta$-EM 格式仍保持适定。
• 定义一个停时 $\nu_{\triangle}$ 以控制数值解的增长，并确保矩有界。
• 利用Itô公式和Gronwall不等式，推导精确解与数值解之间误差的矩估计。
• 应用Young不等式和矩有界性，控制爆炸事件和尾部事件的概率。
• 通过引理2.5建立数值解的先验矩有界性，避免在超线性增长情形下发生发散。
• 结合误差分量的估计，利用三角不等式和 $L^2$-范数控制，推导出最终的收敛结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当漂移系数仅满足局部单边Lipschitz条件时，隐式数值格式（如 $\theta$-EM 格式）能否对SDEs实现强收敛？
• RQ2 在标准 $\theta$-EM 格式需全局单边Lipschitz条件才能保证适定性的情况下，是否可能在局部单边Lipschitz条件下构造出适定的隐式格式？
• RQ3 对具有超线性增长漂移系数的SDEs，采用截断的修正 $\theta$-EM 格式是否仍保持强收敛性？
• RQ4 在局部单边Lipschitz条件下，该修正格式的强收敛速率是多少？
• RQ5 截断技术是否能防止矩爆炸，并在Euler-Maruyama格式失效的类似条件下确保收敛？

主要发现

• 通过在漂移系数上应用截断的修正 $\theta$-EM 格式，可在局部单边Lipschitz条件下保证数值解的存在性与唯一性。
• 该格式在均方意义下强收敛于真实解：当 $\Delta \to 0$ 时，$\mathbb{E}\left(\sup_{0\leq t\leq T}|X(t)-Y_{\Delta}(t)|^{2}\right) \to 0$。
• 即使漂移系数呈超线性增长，该收敛性依然成立，克服了标准Euler-Maruyama格式已知的局限性。
• 截断技术有效控制了漂移的增长，实现了矩有界性，防止了数值格式中的发散。
• 收敛性通过停时论证、矩估计和Gronwall不等式的结合得以证明，最终界依赖于 $M_{g(\Delta)}\Delta^{1/2}$ 和 $g(\Delta)^{-p}$。
• 本文未获得在局部单边Lipschitz条件下收敛速率的显式表达式，该问题仍为开放问题。