[论文解读] A note on sum and difference of correlated chi-squared variables

Alberto Ferrari|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2019

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 2被引用 12

一句话总结

本文提出了一种简单且灵活的近似方法，分别使用伽马分布和方差-伽马分布来近似相关卡方分布变量的和与差。该方法基于均值和方差的参数化，在不同相关性水平下均能实现高精度拟合，并进一步推广至具有共同尺度或形状参数的伽马分布变量。

ABSTRACT

Approximate distributions for sum and difference of linearly correlated $χ^{2}$ distributed random variables are derived. It is shown that they can be reduced to conveniently parametrized gamma and Variance-Gamma distributions, respectively. The proposed distributions are very flexible, and the one for sum in particular has straight-forward generalizations to cases where multiple $χ^{2}$ variables with different parameters are involved. The results promptly extend to every sum of gamma variables with common scale and to every difference between gamma variables with common shape and scale. The fit of the distributions is tested on simulated data with remarkable results.The approximations presented are expected to be especially useful to researchers working on gamma-distributed variables.

研究动机与目标

• 开发一种实用且可推广的近似方法，用于线性相关卡方分布变量之和的分布，这些变量具有相同或不同的自由度。
• 将该近似方法扩展至相关卡方分布变量之差，特别是在相关系数趋近于1的情况下。
• 将结果推广至具有共同尺度或形状参数的伽马分布变量的和与差。
• 在不同依赖结构下，通过模拟数据评估所提近似的经验拟合效果。
• 提供一种计算高效的替代方案，以替代涉及广义超几何函数的精确但复杂的表达式。

提出的方法

• 将相关卡方分布变量之和参数化为形状参数为 $ \frac{m_1 + m_2}{2(1 + \frac{2\rho\sqrt{m_1 m_2}}{m_1 + m_2})} $、尺度参数为 $ 2(1 + \frac{2\rho\sqrt{m_1 m_2}}{m_1 + m_2}) $ 的伽马分布，使其匹配一阶和二阶矩。
• 通过定义依赖于总自由度和成对相关性的形状与尺度参数，将和的近似推广至 $ N $ 个变量。
• 将两个同分布卡方分布变量之差建模为位置为0、尺度为 $ 2\sqrt{m(1 - \rho)} $、形状参数为 $ \frac{2}{m} $ 的方差-伽马分布，确保均值为零且方差随 $ 1 - \rho $ 调整。
• 通过矩生成函数分析表明，当 $ \rho = 0 $ 时，差分布对应于方差-伽马分布，并通过缩放尺度参数将该结果扩展至 $ 0 \leq \rho < 1 $。
• 将相同参数化方法应用于具有共同形状和尺度的通用伽马分布变量，从而为差分布提供闭式近似。
• 通过模拟验证近似效果，比较在分位数函数法和双变量卡方抽样法下经验分布与拟合的伽马分布和方差-伽马密度函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 两个相关卡方分布变量的和能否通过一种考虑相关性的伽马分布得到准确近似，而无需使用复杂的特殊函数？
• RQ2 在有限样本中，所提出的伽马近似与通过广义超几何函数推导出的精确分布相比，性能如何？
• RQ3 两个具有相同自由度 $ m $ 的相关卡方分布变量之差是否能被方差-伽马分布良好近似，尤其是在相关性增加时？
• RQ4 所提出的近似方法能否推广至具有共同尺度的伽马分布变量之和，以及具有共同形状和尺度的伽马分布变量之差？
• RQ5 当底层依赖结构偏离基于多元正态分布的平方变换（如在分位数函数法模拟中）时，该近似是否依然稳健？

主要发现

• 当自由度相同为 $ m $ 时，两个相关卡方分布变量之和可被形状为 $ \frac{m}{1 + \rho} $、尺度为 $ 2(1 + \rho) $ 的伽马分布良好近似，且其一阶和二阶矩完全匹配。
• 当自由度不相等 $ m_1 \neq m_2 $ 时，和的近似为形状参数为 $ \frac{m_1 + m_2}{2(1 + \frac{2\rho\sqrt{m_1 m_2}}{m_1 + m_2})} $、尺度参数为 $ 2(1 + \frac{2\rho\sqrt{m_1 m_2}}{m_1 + m_2}) $ 的伽马分布，该形式保持了正确的均值和方差。
• 当自由度相同为 $ m $ 时，两个相关卡方分布变量之差近似服从位置为0、尺度为 $ 2\sqrt{m(1 - \rho)} $、形状参数为 $ \frac{2}{m} $ 且偏度为0的方差-伽马分布。
• 该方差-伽马近似保持了零均值，且方差为 $ 4m(1 - \rho) $，能随相关性合理调整。
• 模拟结果表明，当数据来自双变量 $ \chi^2 $ 分布时，伽马近似与精确分布的拟合程度几乎相同；而当使用分位数函数法时，其表现甚至优于精确分布，表明对依赖结构具有稳健性。
• 该近似可直接推广至具有共同尺度的伽马分布变量之和，以及具有共同形状和尺度的伽马分布变量之差，从而在统计建模中具有广泛的应用潜力。